viernes, 23 de noviembre de 2012

Distancia de un punto a una recta en el espacio

Hallar la distancia de punto P(-1,2,3) a la recta

Hace un tiempo me enfrente a este problema, (no específicamente a este pero uno muy parecido), el cual lo hice como lo explica la mayoría de los textos de cálculo, lo hice por proyecciones. Después de un tiempo revisando un libro de geometría analítica sentí curiosidad como daban solución este tipo de problemas y adopte esta forma:

Solución

· Es obvio que la distancia que pide el problema es la distancia mínima.

· Se forma un plano que pase por el punto dado y que sea perpendicular a la recta dada.

· Por supuesto si la recta es perpendicular al plano el vector normal del plano es igual al vector director de la recta.

La ecuación del plano es:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀) = 0

N = (A,B,C) vector normal del plano.

a = (6, -2, 3) vector director de la recta

Entonces por lo expuesto anteriormente el vector normal del plano es

N = (6, -2, 3)

El plano pasa por el punto P(-1,2,3), y al sustituir en la ecuación del plano queda:

6(x+1)-2(y-2)+3(z-3) = 0

6x+6-2y+4+3z-9 = 0

6x-2y+3z+1 = 0

Encontramos el plano buscado, ahora viene la parte donde nos preguntamos ¿para qué encontramos ese plano?

Esa pregunta es sencilla de contestar, ese plano fue encontrado nada más y nada menos para buscar la intersección de la recta y ese plano, osea, debemos encontrar el punto de intersección para después buscar la distancia entre ese punto y el punto dado, y esa será la distancia mínima porque es obvio que entre esos dos puntos se forma una perpendicular a la recta.

Para encontrar ese punto de intersección debemos expresar la recta simétrica dad en paramétrica, esto se logra así:

Luego

X = 6t + 7, Y = -2t – 3, Z = 3t

Ahora sustituimos en el plano encontrado, 6x-2y+3z+1 = 0

6(6t + 7)-2(-2t – 3)+3(3t)+1 = 0

36t + 42 + 4t +6 +9t +1 = 0

49t +49 = 0

t = -1

Con este valor de t = -1, sustituimos y encontramos X, Y, Z (el punto de intersección)

X = 6(-1) + 7, Y = -2(-1) – 3, Z = 3(-1)

X = 1, Y = -1, Z = -3

P₁(1,-1,-3)

Ahora hayamos la distancia entre P(-1,2,3) y P₁(1,-1,-3)

miércoles, 26 de septiembre de 2012

El ajedrez y las Matemáticas

Es increíble el gran número de personas que asocian el ajedrez con las matemáticas, he tenido la oportunidad, en muchas ocasiones, de asistir a torneos de ajedrez y especialmente observar partidas en las categorías infantiles, siempre una sorpresa me aguarda, en cada ocasión me encuentro con niños que destacan, hago referencias a categorías infantiles porque en las categoría mayores no se percibe lo que voy a expresar en líneas posteriores, tal vez no se perciba por el simple hecho que el curso de la vida ya está definido a la edad adulta.

Cada vez que uno de estos pequeños se corona campeón del torneo se nota emoción y felicidad en ellos, esto es normal, es un aspecto tan natural de la vida emocionarse y alegrase por el éxito obtenido, el éxito en cualquier aspecto de la vida ayuda a las personas a aumentar su autoestima y en el caso especifico de los pequeños ayuda a fortalecer su carácter y los prepara para el mundo que están por enfrentar a lo largo de su existencia.

La emoción de los padres no se hace esperar, sus hijos los llenan de orgullo, y por supuesto, prestar atención a nuestros hijos es un aspecto fundamental que como padres debemos conocer, aunque nuestro hijo no sea el campeón del torneo igual uno debe sentirse orgulloso de él, solo por el hecho de intentar obtener el triunfo.

Al finalizar estos torneos, siempre los padres están dispuestos a tomarse unos minutos para conversar sobre sus hijos, en ese momento cuando me brindan la oportunidad o simplemente por el aspecto sociable que caracteriza a los seres humanos, intervengo en las conversaciones, tal vez me crean o no, pero es curioso escuchar las siguientes afirmaciones: “tu hijo sabe jugar al ajedrez muy bien, debe ser bueno en matemáticas”, otros dicen, “debe ser un niño que no tiene complicaciones con matemáticas”, cada vez que escucho este tipo de comentarios solo sonrió.

El proceso inverso suele escucharse, pero en poca proporción, es decir, niños aplicados en matemáticas son inscritos en cursos vacacionales de ajedrez con la idea que será un buen ajedrecista por el solo hecho de dominar matemáticas, este paradigma despertó mi curiosidad e investigue sobre los campeones mundiales de ajedrez, observemos:

Campeones del mundo no oficiales

§ Ruy López de Segura, ~1560, España

§ Paolo Boi y Leonardo da Cutri, ~1575, Italia

§ Alessandro Salvio, ~1600, Italia

§ Gioacchino Greco, ~1620, Italia

§ Legall de Kermeur, ~1730–1747, Francia

§ Philidor, ~1747–1795, Francia

§ Alexandre Deschapelles, ~1800–1820, Francia

§ Louis de la Bourdonnais, ~1820–1840, Francia

§ Howard Staunton, 1843–1851, Inglaterra

§ Adolf Anderssen, 1851–1858, Alemania

§ Paul Morphy, 1858–1859, Estados Unidos

§ Adolf Anderssen, 1859–1866, Alemania

Campeones del mundo oficiales

§ Wilhelm Steinitz, 1886–1894, Austria/EE. UU.

§ Emanuel Lasker, 1894–1921, Alemania

§ José Raúl Capablanca, 1921–1927, Cuba

§ Alexander Alekhine, 1927–1935, Rusia/Francia

§ Max Euwe, 1935–1937, Países Bajos

§ Alexander Alekhine, 1937–1946, Francia

§ Mijaíl Botvínnik, 1948–1957, Unión Soviética

§ Vasili Smyslov, 1957–1958, Unión Soviética

§ Mijaíl Botvínnik, 1958–1960, Unión Soviética

§ Mijaíl Tal, 1960–1961, Unión Soviética

§ Mijaíl Botvínnik, 1961–1963, Unión Soviética

§ Tigran Petrosian, 1963–1969, Unión Soviética

§ Boris Spassky, 1969–1972, Unión Soviética

§ Robert James Fischer, 1972–1975, EE. UU.

§ Anatoli Kárpov, 1975–1985, Unión Soviética

§ Gari Kaspárov, 1985–1993, Unión Soviética/Rusia

Campeones del mundo "clásicos"

§ Gari Kaspárov, 1993–2000, Rusia

§ Vladímir Krámnik, 2000–2006, Rusia

Campeones del mundo de la FIDE desde 1993

§ Anatoli Kárpov, 1993–1999, Rusia

§ Aleksandr Jálifman, 1999–2000, Rusia

§ Viswanathan Anand, 2000–2002, India

§ Ruslán Ponomariov, 2002–2004, Ucrania

§ Rustam Kasimdzhanov, 2004–2005, Uzbekistán

§ Veselin Topalov, 2005–2006, Bulgaria

Campeones del mundo unificados

§ Vladímir Krámnik, 2006-2007 , Rusia

§ Viswanathan Anand, 2007– , India ( actual campeón del mundo)

¿Qué te dice esa lista? Si conoces de ajedrez te dice mucho, si no conoces de ajedrez te dice poco o nada, en mi investigación busque la biografía de cada uno de estos campeones, parece increíble pero la gran variedad de oficios a los que se dedicaban o se dedican estos campeones de ajedrez es de considerar, la gran mayoría son ajedrecista de profesión, otros nunca terminaron sus carreras universitarias, un gran porcentaje son escritores, otros políticos, psicólogos, es como tratar de buscar un patrón o secuencia a los números primos, hasta la actualidad imposible.

Es curioso observar que solo dos (2) campeones mundiales de ajedrez han sido matemáticos de profesión, ellos son EMANUEL LASKER --27 años con el titulo-- y MAX EUWE --2 años con el titulo--, es cierto que LASKER es el campeón del mundo de ajedrez que más tiempo ha retenido el titulo, durante 27 años consecutivos, pero esto no indica que haya sido por las matemáticas, la historia atribuye a su éxito en ajedrez a los aspectos psicológicos del juego, sin embargo, EUWE, quien obtuvo un doctorado en matemáticas solo retuvo el título 2 años.

Para finalizar, vuelvo y repito, tratar de buscar alguna dependencia entre matemáticas y ajedrez es como buscar una fórmula o relación de recurrencia que genere los números primos, tal vez no sea imposible, pero vaya que es difícil, a mi juicio, estas características no son dependientes, una no implica la otra o viceversa, son mitos creados tal vez por el desconocimiento de una o ambas actividades.

Saul linares

martes, 25 de septiembre de 2012

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (Findö, Noruega, 5 de agosto de 1802 - Froland, Noruega, 6 de abrilde 1829) fue un matemático noruego.

Hijo de un pastor protestante, creció en un ambiente familiar de mucha pobreza a causa de las tendencias alcohólicas de su padre. Fue enviado a estudiar junto a su hermano a una Escuela de Oslo; su precocidad para las matemáticas fueron valoradas por sus profesores, especialmente Holm Boe, quien tras la muerte de su progenitor, le ayudo en el financiamiento de sus estudios universitarios.

Tras ganarse junto a JACOBI el gran premio de las matemáticas del Instituto de Francia por el brillante y novedoso tema sobre la teoría de las funciones elípticas, en viaje a Berlín, publica en el Diario Creelles, medio escrito especializado en tema matemático, la demostración de la imposibilidad de la resolución de los ecuaciones de quinto grado usando raíces. Fue considerado el mejor algebrista del siglo XIX. Los aportes de Abel son fundamentales para el desarrollo de un método general para la construcción de funciones periódicas reciprocas de las integrales elípticas.Sus obras fueron publicadas por el Gobierno Sueco en 1.839, por el interés de su ilustre profesor M. Holmboe, en la Universidad Cristiana (hoy Oslo). De regreso a Noruega, su salud comenzó a decaer y en medio de la pobreza le fue diagnosticada una tuberculosis, enfermedad que lo llevo a la muerte en 1.819. Su vida fue corta y sumida en la pobreza. No tuvo reconocimiento a pesar de su monumental obra.

Grupo (Definición)

Un conjunto G no vacio con una ley de composición interna *, decimos que es un grupo respecto a esa ley, si (G, *) verifica las siguientes propiedades:

· La ley de composición * es asociativa, es decir:

(x*y)*z = x*(y*z), cualquiera sean x, y, z ∈ G.

· Existe un elemento neutro e ∈ G. Es decir, existe e ∈ G tal que:

e*x = x*e = x, para todo x ∈ G.

· Para todo x ∈ G, existe un elemento simétrico de x. Es decir , existe x’ ∈ G tal que:

x* x’ = x’*x = e.

Si además de cumplirse estas propiedades y la ley de composición es conmutativa, se dice que el grupo G es conmutativo o abeliano.

Biografía de Niels Henrik Abel

domingo, 23 de septiembre de 2012

La matemática de Thales de Mileto

No está claro que descubrió o conoció Thales, sin embargo los siguientes teoremas se le atribuyen:

· Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son iguales.

· Un círculo es bisecado por cualquier diámetro.

· Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales (opuesto por el vértice).

· Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.

· Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Biografía de Thales de Mileto

domingo, 16 de septiembre de 2012

Nota histórica sobre la Transformada de Laplace

Pierre-Simon de Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge y falleció el 5 de marzo de 1827. A los 19 años viajó a Paris a estudiar matemáticas, donde rápidamente impresionó a d’Alembert, quien lo apadrinó y le consiguió trabajo de profesor de matemáticas en la École Militaire. Debido a la gran cantidad de trabajos de calidad que presentó y la variedad de temas que abordó, ya a los 24 años se le conocía como “el Newton de Francia”. El matemático Anders Lexell, contemporáneo de Laplace, escribió que Laplace mismo se consideraba el mejor matemático de Francia, y que “quería opinar acerca de todo”. Entre los trabajos de Laplace destaca sobre todo su “Tratado de Mecánica Celeste”, obra que publicó en cinco volúmenes entre 1799 y 1825 y que suele considerarse como la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación. El otro gran aporte de Laplace se encuentra en el campo de la Teoría de Probabilidades. La primera edición de la “Teoría Analítica de las Probabilidades” fue publicada en 1812 y en ella consideró las probabilidades desde todos los puntos de vista: presenta el método de los mínimos cuadrados, el problema de la aguja de Bufón, aplicaciones a la mortalidad, expectativa de vida y a problemas legales; incluye también aplicaciones para determinar la masa de Júpiter, Saturno y Urano, métodos de triangulación y un método para determinar el meridiano de Francia. Y contiene lo que hoy conocemos como la Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace aparece por primera vez en el trabajo de Euler de 1769, “Institutiones Calculi Integralis”, al resolver la ecuación:

Ly”+ My’+ Ny = U

Sin embargo, quizás por la frecuencia con que Laplace la usó y por la profundidad de los resultados que logró, la transformada lleva su nombre. Durante el siglo XIX se le conocía con el nombre “Método de Laplace” y aunque hubo muchos matemáticos que contribuyeron a la teoría, fue Poincaré quien desarrolla de nuevo la transformada de Laplace. Sin embargo, la transformada de Laplace como la conocemos hoy, se debe al trabajo de Gustav Doetsch de 1937.