Distancia de un punto a una recta en el espacio

Hallar la distancia de punto P(-1,2,3) a la recta

Hace un tiempo me enfrente a este problema, (no específicamente a este pero uno muy parecido), el cual lo hice como lo explica la mayoría de los textos de cálculo, lo hice por proyecciones. Después de un tiempo revisando un libro de geometría analítica sentí curiosidad como daban solución este tipo de problemas y adopte esta forma:

Solución

·         Es obvio que la distancia que pide el problema es la distancia mínima.

·         Se forma un plano que pase por el punto dado y que sea perpendicular a la recta dada.

·         Por supuesto si la recta es perpendicular al plano el vector normal del plano es igual al vector director de la recta.

La ecuación del plano es:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀) = 0

N = (A,B,C) vector normal del plano.

a = (6, -2, 3) vector director de la recta

Entonces por lo expuesto anteriormente el vector normal del plano es

N = (6, -2, 3)

El plano pasa por el punto P(-1,2,3), y al sustituir en la ecuación del plano queda:

6(x+1)-2(y-2)+3(z-3) = 0

6x+6-2y+4+3z-9 = 0

6x-2y+3z+1 = 0

Encontramos el plano buscado, ahora viene la parte donde nos preguntamos ¿para qué encontramos ese plano?

Esa pregunta es sencilla de contestar, ese plano fue encontrado nada más y nada menos para buscar la intersección de la recta y ese plano, osea, debemos encontrar el punto de intersección para después buscar la distancia entre ese punto y el punto dado, y esa será la distancia mínima porque es obvio que entre esos dos puntos se forma una perpendicular a la recta.

Para encontrar ese punto de intersección debemos expresar la recta simétrica dad en paramétrica, esto se logra así:

Luego

X = 6t + 7, Y = -2t – 3, Z = 3t

Ahora sustituimos en el plano encontrado, 6x-2y+3z+1 = 0

6(6t + 7)-2(-2t – 3)+3(3t)+1 = 0

36t + 42 + 4t +6 +9t +1 = 0

49t +49 = 0

t = -1

Con este valor de t = -1, sustituimos y encontramos X, Y, Z (el punto de intersección)

X = 6(-1) + 7, Y = -2(-1) – 3, Z = 3(-1)

X = 1, Y = -1, Z = -3

P₁(1,-1,-3)

Ahora hayamos la distancia entre P(-1,2,3) y P₁(1,-1,-3)