Distancia de un punto a una recta en el espacio

Hallar la distancia de punto P(-1,2,3) a la recta

Hace un tiempo me enfrente a este problema, (no específicamente a este pero uno muy parecido), el cual lo hice como lo explica la mayoría de los textos de cálculo, lo hice por proyecciones. Después de un tiempo revisando un libro de geometría analítica sentí curiosidad como daban solución este tipo de problemas y adopte esta forma:

Solución

·         Es obvio que la distancia que pide el problema es la distancia mínima.

·         Se forma un plano que pase por el punto dado y que sea perpendicular a la recta dada.

·         Por supuesto si la recta es perpendicular al plano el vector normal del plano es igual al vector director de la recta.

La ecuación del plano es:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀) = 0

N = (A,B,C) vector normal del plano.

a = (6, -2, 3) vector director de la recta

Entonces por lo expuesto anteriormente el vector normal del plano es

N = (6, -2, 3)

El plano pasa por el punto P(-1,2,3), y al sustituir en la ecuación del plano queda:

6(x+1)-2(y-2)+3(z-3) = 0

6x+6-2y+4+3z-9 = 0

6x-2y+3z+1 = 0

Encontramos el plano buscado, ahora viene la parte donde nos preguntamos ¿para qué encontramos ese plano?

Esa pregunta es sencilla de contestar, ese plano fue encontrado nada más y nada menos para buscar la intersección de la recta y ese plano, osea, debemos encontrar el punto de intersección para después buscar la distancia entre ese punto y el punto dado, y esa será la distancia mínima porque es obvio que entre esos dos puntos se forma una perpendicular a la recta.

Para encontrar ese punto de intersección debemos expresar la recta simétrica dad en paramétrica, esto se logra así:

Luego

X = 6t + 7, Y = -2t – 3, Z = 3t

Ahora sustituimos en el plano encontrado, 6x-2y+3z+1 = 0

6(6t + 7)-2(-2t – 3)+3(3t)+1 = 0

36t + 42 + 4t +6 +9t +1 = 0

49t +49 = 0

t = -1

Con este valor de t = -1, sustituimos y encontramos X, Y, Z (el punto de intersección)

X = 6(-1) + 7, Y = -2(-1) – 3, Z = 3(-1)

X = 1, Y = -1, Z = -3

P₁(1,-1,-3)

Ahora hayamos la distancia entre P(-1,2,3) y P₁(1,-1,-3)

Rectas y planos

La distancia de un plano al origen es 3. Si el plano pasa también por la intersección de los planos x+y+z-11 = 0 ^ x-4y+5z-10 = 0. Hállese su ecuación.

Resolución:

Sea los planos:

(plano 1): x+y+z-11 = 0

(plano 2): x-4y+5z-10 = 0

El plano buscado pasa por la intersección de los planos mostrados en la imagen.

Dos planos no paralelos se intersectan y forman una recta.

La distancia no dirigida que va desde el plano Ax+By+Cz+D = 0, hasta el punto (x₀,y₀,z₀) está dada por:






La distancia de un plano al origen es 3, el origen es el punto p(0,0,0): sustituyendo en la formula:














Elevando ambos miembros al cuadrado queda:


ecuación 1.


Ahora buscamos la recta de interseccion de los planos:






Multiplicando por 4 la primera ecuación queda:





Sumando ambas ecuaciones:

5x +9z -54 = 0















Ahora eliminamos la variable z del sistema de ecuaciones






Para ello multiplicamos por -5 la primera ecuación, queda:





Sumando ambas ecuaciones:

-4x-9y+45 = 0











Igualando los valores de x obtenemos la recta simétrica de la intersección de los planos.







De esta última expresión obtenemos el vector director y un punto de la recta:








p(0,5,6)

El plano buscado (Ax+By+Cz+D=0) cuyo vector normal es , pasa por la intersección de los planos dados, estos planos se intersectan en la recta obtenida anteriormente. Concluimos:

• La recta está contenida en el plano que deseamos obtener.
• Por estar contenida en el plano, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.
• Todo punto de la recta satisface a la ecuación del plano.

El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. El producto punto de dos vectores perpendiculares es igual a cero.








9A-4B-5C = 0, ecuación 2.


Todo punto de la recta satisface a la ecuación del plano

Un punto de la recta es p(0,5,6) y la ecuación del plano está representada por Ax+By+Cz+D=0, entonces;

A(0)+B(5)+C(6)+D=0

5B+6C+D=0, ecuación 3.

Ahora se forma el siguiente sistema de ecuaciones








9A-4B-5C = 0 (2)
5B+6C = -D (3)


Si multiplicamos la ecuación (2) por 5, queda:

45A-20B-25C = 0
20B+24C = -4D
______________
45A - C = -4D

C = 45A+4D, ecuación 4.


9A-4B-5C = 0 (2)
5B+6C = -D (3)

Ahora multiplicamos la ecuación (2) por 6 y la ecuación (3) por 5, queda:

54A-24B-30C = 0
25B+30C = -5D
______________
54A+B = -5D

B = -54A-5D, ecuación 5.

Sustituyendo la ecuación (4) y (5) en la ecuación (1), se tiene:

9A² +9(2916A²+540DA+25D²)+9(2025A²+360DA+16D²) = D²

9A²+26244A²+4860DA+225D²+18225A²+3240DA+144D² = D²

44478A²+8100DA+368D² = 0

22239A²+4050DA+184D² = 0

Aquí se obtienen dos soluciones, trabajando con la solución que resultará de tomar el signo positivo:









De las ecuaciones (4) y (5) se obtiene:








Sustituyendo estos resultados en la ecuación del plano, Ax+By+Cz+D=0.













Multiplicando por (-1059) esta última ecuación, obtenemos la primera solución del plano buscado.


Trabajando con la solución que resultará de tomar el signo negativo:








Análogamente,







Obtenemos la segunda solución del plano buscado.


Si consideras que este artículo ha aclarado tus dudas, te invitamos a dejar un comentario. Gracias.