Conjuntos Compactos en $\mathbb{R}$

Se dice que un conjunto de $F$ de $\mathbb{R}$ es Compacto si toda cubierta abierta de $F$ tiene una subcubierta finita.

Examinando la definición de conjuntos compacto surgen dos inquietudes:

¿Qué es una cubierta abierta?

¿Qué es una subcubierta finita?

Una vez aclarado estas definiciones podemos retomar el camino de conjuntos compacto, estableciendo lo siguiente; Un conjunto $F$ es compacto si, siempre que esté contenido en la unión de una colección $\varphi = \left \{ G_{\alpha } \right \}$de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$, entonces está contenido en la unión de algún numero finito de conjuntos en $\varphi$.

Dos cosas hay que advertir, si usted desea demostrar que un conjunto es compacto, se debe examinar una colección cualesquiera de conjuntos abiertos cuya unión contenga a $F$, y probar que $F$ está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos de la colección dada.

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Espacio Métrico Completo

Definición.
Se dice que un espacio metrico $\left(S,d\right)$ es completo si toda sucesión de Cauchy en $S$ converge a un punto de $S$.

Ejemplo. El espacio métrico $\left(\mathbb{Q},d\right)$ de los números racionales con el métrico definido por la función del valor absoluto NO es completo.

Solución: Si $\left(X_{n}\right)$ es una sucesión de números racionales que converge a un número irracional, digamos a $\sqrt{2}$, entonces es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{Q}$, pero no converge a un punto de $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $\left(\mathbb{Q},d\right)$ NO es un espacio métrico completo.

Invitamos al lector a construir una sucesión de números racionales que sea convergente a un número no racional.