Para graficar una función cuadrática, que se representa por $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$,
definida mediante la curva $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$, con $a\neq0$, debes conocer
el vértice y los puntos de corte con el eje $x$ e $y$, otro aspecto importante es saber
que la representación gráfica de una función cuadrática es una parábola que puede
abrir hacia arriba o abajo dependiendo del signo del coeficiente a. Existen dos
casos, si $a > 0$ entonces la parábola abre hacia arriba, si $a < 0$ entonces
la parábola abre hacia abajo. Después te darás cuenta que hay funciones cuadráticas
que cortan con el eje x y otras no. Cuando estas aprendiendo se hace un poco complicado
pero luego de varios ejercicios verás que resulta hasta divertido.
Ante todo examina la función, es decir observa si es de la forma $
f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $, las funciones cuadráticas se te pueden presentar
de la siguiente manera
$$f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$$
$$f\left(x\right)=ax^{2}$$
$$f\left(x\right)=ax^{2}+c$$
$$f\left(x\right)=ax^{2}+bx$$
Aquí examinaremos la forma $ f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $
Empecemos
1. Calcula el punto de corte con el eje $y$, esto se logra haciendo $x=0$
en la función dada, observemos;
$$f\left(0\right)=a\left(0\right)^{2}+b\left(0\right)+c$$
$$f\left(0\right)=c$$
El punto de corte con el eje $y$ siempre será $p\left(0,c\right)$.
2. Calcula el vértice. Aplica la siguiente fórmula $$V\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$$
3. Obtener el discriminante $\Delta$. $$\Delta = b^{2}-4ac$$
Este paso es crucial, aquí se definen varios aspectos que te permitirán construir
la gráfica correctamente, observemos:
3.1 Si $\Delta > 0$, entonces la gráfica tiene dos puntos de corte
con el eje x, para obtener estos puntos de corte debes hacer $f\left(x\right)=0$,
quedando la siguiente expresión $ax^{2}+bx+c=0$, los puntos de corte son los siguientes:
$$p_{1}\left(x_1,0\right)$$
y
$$p_{2}\left(x_2,0\right)$$
donde
$$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
y
$$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
Con estos cuatro puntos --cortes
con el eje $x$ e $y$ y vertice-- es suficiente para construir la gráfica de la parábola
en un plano cartesiano.
3.2 Si $\Delta = 0$, entonces la gráfica tiene un solo punto de corte
con el eje x, es el siguiente:
$$p_{1}\left(-\frac{b}{2a},0\right)$$
En este caso debes
construir una tabla de valores, con 5 valores es suficiente, estos valores no deben
ser arbitrarios, deben estar condicionados a un valor central que será el valor
que corresponde a la abscisa del vértice, o sea, el valor x del vértice
Ejemplo: Si el vértice es $V\left(\frac{3}{2},-4\right)$
usted selecciona como valor central de la tabla a $x=\frac{3}{2}$, observa como
quedaría la tabla de valores
La idea es básica, debes seleccionar los enteros inmediatos a la derecha
e izquierda del valor correspondiente al x del vertice. Si el vertice fuera $V\left(\frac{1}{2},-4\right)$, seleccionarías para la tabla -1, 0, 1/2,
1, 2.
De inmediato debes completar la tabla calculando los $f\left(x\right)$ correspondientes,
posteriormente grafica estos valores junto al corte con el eje $y$ en un plano cartesiano
y obtendrás la gráfica deseada.
3.3 Si $\Delta < 0$,
entonces la gráfica no tiene puntos de corte con el eje x, en este caso se debe
construir la misma tabla de valores del paso anterior y graficar los valores de
esta tabla junto al corte con el eje $y$.
Próximamente estaré editando un ejemplo para que visualicen mejor la idea. Nos vemos.
