Resolución:
Sea los planos:
(plano 1): x+y+z-11 = 0
(plano 2): x-4y+5z-10 = 0
El plano buscado pasa por la intersección de los planos mostrados en la imagen.
Dos planos no paralelos se intersectan y forman una recta.
La distancia no dirigida que va desde el plano Ax+By+Cz+D = 0, hasta el punto (x0,y0,z0) está dada por:
La distancia de un plano al origen es 3, el origen es el punto p(0,0,0): sustituyendo en la formula:
Elevando ambos miembros al cuadrado queda:
ecuación 1.Ahora buscamos la recta de interseccion de los planos:
Multiplicando por 4 la primera ecuación queda:
Sumando ambas ecuaciones:
5x +9z -54 = 0
Ahora eliminamos la variable z del sistema de ecuaciones
Para ello multiplicamos por -5 la primera ecuación, queda:
Sumando ambas ecuaciones:
-4x-9y+45 = 0
Igualando los valores de x obtenemos la recta simétrica de la intersección de los planos.
De esta última expresión obtenemos el vector director y un punto de la recta:
p(0,5,6)
El plano buscado (Ax+By+Cz+D=0) cuyo vector normal es
, pasa por la intersección de los planos dados, estos planos se intersectan en la recta obtenida anteriormente. Concluimos:- La recta está contenida en el plano que deseamos obtener.
- Por estar contenida en el plano, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.
- Todo punto de la recta satisface a la ecuación del plano.
El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. El producto punto de dos vectores perpendiculares es igual a cero.
9A-4B-5C = 0,
Todo punto de la recta satisface a la ecuación del plano
Un punto de la recta es p(0,5,6) y la ecuación del plano está representada por Ax+By+Cz+D=0, entonces;
A(0)+B(5)+C(6)+D=0
5B+6C+D=0,
9A-4B-5C = 0
Si multiplicamos la ecuación
45A-20B-25C = 0
20B+24C = -4D
______________
45A - C = -4D
C = 45A+4D,
9A-4B-5C = 0 (2)
5B+6C = -D (3)
Ahora multiplicamos la ecuación (2) por 6 y la ecuación (3) por 5, queda:
54A-24B-30C = 0
25B+30C = -5D
______________
54A+B = -5D
B = -54A-5D, ecuación 5.
Sustituyendo la ecuación (4) y (5) en la ecuación (1), se tiene:
9A2 +9(2916A2+540DA+25D2)+9(2025A2+360DA+16D2) = D2
9A2+26244A2+4860DA+225D2+18225A2+3240DA+144D2 = D2
44478A2+8100DA+368D2 = 0
22239A2+4050DA+184D2 = 0
Aquí se obtienen dos soluciones, trabajando con la solución que resultará de tomar el signo positivo:
De las ecuaciones (4) y (5) se obtiene:
Sustituyendo estos resultados en la ecuación del plano, Ax+By+Cz+D=0.
Multiplicando por (-1059) esta última ecuación, obtenemos la primera solución del plano buscado.
Trabajando con la solución que resultará de tomar el signo negativo:
Análogamente,
Obtenemos la segunda solución del plano buscado.
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