Matemáticas para Todos: Ecuación diferencial lineal de primer orden

jueves, 10 de febrero de 2011

Ecuación diferencial lineal de primer orden

Resolver la siguiente ecuación diferencial

Se observa claramente que la ecuación diferencial no es exacta, ¿por qué?

La ecuación diferencial de la forma

Se llama ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una función

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación anterior sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición

En nuestro caso;

La ecuación diferencial no es exacta.

Cuando esto ocurre no todo está perdido, existe el método de los factores integrantes, este método emplea el uso de las derivadas parciales y obtiene un factor integrante que al ser multiplicado por la ecuación diferencial la transforma en una ecuación diferencial exacta.

Pero en este caso vamos a proporcionar otra idea interesante para librarnos de este camino, que a mi parecer es un poco largo al menos para este ejercicio.

Concentrémonos en la ecuación lineal de primer orden,

O en la ecuación de bernoulli

La ecuación diferencial es

Si multiplicamos esta ecuación por

se tiene:

Ordenando para obtener semejanza a la ecuación lineal de primer orden

Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, algunos textos recomiendan calcular un factor integrante, este se calcula de la siguiente manera;