En esta oportunidad vamos a explicar la técnica de completación de cuadrados, técnica útil en varias áreas de las matemáticas, (resolución de ecuaciones de 2do grado, cálculo integral, transformadas de laplace, etc.).
Para comprender mejor este método, nos enfocaremos primero en las ecuaciones del tipo
Aunque esta técnica no se limita a este tipo de expresiones. Los siguientes pasos van a estar enfocados en expresiones cuadráticas de la forma x^2 + bx + c = 0, o sea, cuando el coeficiente a = 1. En los ejemplos posteriores a estos pasos se mostrará como trabajar cuando a≠1. Es sencillo, así que no te preocupes.
Pasos para realizar la completación de cuadrados.
- Se selecciona el valor absoluto del término b, es decir, aunque este término sea negativo siempre lo tomaras positivo.
- Divides este término por 2 y a esa expresión la elevas al cuadrado. Ejemplo (b/2)^2.
- Suma y resta este nuevo término a la expresión dada.
- El primer término agregado se simplifica, osea, se simplifica la fracción que está dentro del paréntesis siempre y cuando esto sea posible, el segundo término se desarrolla.
- A los tres primeros términos se le completa cuadrado, a los dos últimos se le realizan operaciones.
- Para completar cuadrados se procede como sigue; se le calcula la raíz cuadrada al primer término, luego coloca el signo del término b, seguido de la raíz cuadrada del tercer término, que justamente va ser la expresión simplificada dentro del paréntesis. Toda esta expresión que calculaste se eleva al cuadrado.
- Ambas expresiones, la resultante de los tres primeros términos y la de los dos últimos será tu completación de cuadrados.
ejemplo 1, si a=1
se procede de la siguiente manera:
Ejemplo 2, si a≠1.
En este caso es necesario extraer el coeficiente del término cuadrático, aunque este no sea factor común de la expresión.
Ejemplo 3, si a≠1.
En esta última expresión debemos advertir que la fracción no se puede simplificar como en los casos anteriores, a demás, recuerde que dividir por dos es igual a multiplicar por 1/2.
Entonces (8/3)*(1/2) = 4/3
Entradas Interesantes
hey men muy buena explicación, me aclaraste esa pequeña duda......
ResponderEliminargracIAS!!! eStE aRTiCUlO Nos sirVio DE muCHO
ResponderEliminarExcepto para mejorar tu ortografía.
EliminarMuy interesante y claro el texto. Felicitaciones y Gracias.
Eliminarmuy bueno, en serio ayuda
EliminarPara servirle, si tiene dudas sobre otro tema sera de mi agrado ayudarles. exitos
ResponderEliminarok
Eliminarespero q todos los temas sean facil d entender
ResponderEliminargracias man te pasaste, muy bueno, me ayudaste pa mi examen , gracias
ResponderEliminarmuy bueno .. gracias aclaro mis dudas .. :3
ResponderEliminary como haria con una integral por sustitucion trigonometrica como esta integral 4x^2+24x-27?????
ResponderEliminarTE AMOOO SOLUCIONASTE MI DUDA!
ResponderEliminarGracias Roxana, yo tambien te amoooo... jejejej
Eliminardejen la mariconeria muchachos gafos
Eliminarscububidupapa
Eliminargracias!!! muy bien explicado!! Dios les bendiga!!!
ResponderEliminarDe nada, para servirle
Eliminares una buena explicacion. muchas gracias porque aclararon mis dudas
ResponderEliminarExitos
Eliminaruna forma menos complicada en la que solo debes sustituir los coeficientes ax^2+bx+c=0 sería:
ResponderEliminarsi a=1 -> (x+(b/2))^2-(b^2/4)+c
a no es 1 -> a[(x+(b/2a))^2-(b^2/4a^2)+ (c/a)]
Tienes razón, pero rara vez a los alumnos le gusta memorizar fórmulas y pocas veces se usan ese tipo de formulas para explicar la técnica de completación de cuadrados.
Eliminarsegui sin entender :( y se que la explicacon esta buena
ResponderEliminarNo te desanimes, tienes tu ejercicio?? muestralo y trataré de explicarte
Eliminarxq en la tercera expresion se divide entre 3?, y xq usas 4/3 siendo b 8/3?
ResponderEliminarporque el -3 no es factor común y debes extraerlo de manera forzada, si distribuyes el -3 dentro del paréntesis te darás cuenta que te reproduce la expresión original, ese -3 lo extraes de la expresión debido a que necesitamos el término a=1, luego el 8/3 lo divides por 2, si haces esto te queda (8/3)/2, aplicando doble C te quedaría 8/6 que simplificado es 4/3.
EliminarEsta muy buena la explicacion, podrias ayudarme con la factorizacion de trinomios cuando a> 1. como 6x2+5x -6
ResponderEliminarHola, claro que si...
Eliminar6x^2+5x -6
6[x^2 + (5/6)x - 1]
6[x^2 + (5/6)x + (5/12)^2 - (5/12)^2 - 1]
6[x^2 + (5/6)x + (5/12)^2 - 25/144 - 1]
6[(x+5/12)^2 - 169/144]
Muy buena entrada y magnifico blog, ya estás en nuestros favoritos.
ResponderEliminarValora en upnews.es: Pasos para calcular la completación de cuadrados y ejemplos donde podras aprender de una manera correcta el método.
Gracias por su aceptación en su respetada y nombrada pagina web, mil gracias...
Eliminar:)Me has ensenado muchisimo Saul....gracias....te admiro.
ResponderEliminargracias a ti mi corazon, exitos y sigue adelante...
EliminarOye gracias, me quedo súper claro
ResponderEliminargracias a ti... besos
Eliminarmira saul t quiero hacer una pregunta d como hacer las funciones lineales. encontrar distancia, punto medio y pendiente. de f(x)=3x-2.
ResponderEliminarhola, para encontrar la pendiente de esa función debes conocer esta ecuación general,
EliminarY = mx + b
observa que es muy parecida a tu función, justamente la "m" se le llama pendiente, para tu caso la pendiente seria 3, osea, m = 3.
la distancia entre puntos y punto medio la puedes calcular mediante formulas muy conocidas, la puedes encontrar en cualquier libro de geometría analítica u otro que hable sobre ese tema.
men muy buena explicaciòn un millon de gracias
ResponderEliminarEstamos para ayudarle.... gracias
Eliminarmuy bueno muy bueno. La verdad yo cometia un error, y era de dividir todo el polinomio entre el coeficiente del termino cuadratico, y al final no lo volvia a multiplicar. cosa que solo es posible cuando el polinomio está igualado a cero. Saludos.
ResponderEliminarah... te entiendo, estabas tratando a la expresión como si fuese una ecuación, me alegra que la información te ayudara, saludos....
Eliminaramigoooooo...!! el primer ejercicio... donde se eliminoo ese 4x? xq el resultado qdo (x+2)^2+1
ResponderEliminar(x+2)^2 si desarrollamos ese binomio queda...
Eliminar(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
lo que hicimos, por decirlo en términos no matemáticos, fue.... comprimir el trinomio, esa es la idea principal de la completación de cuadrados.
y=-3x^2 +10x-20 amigo necesito que me ayude con esa ecuacion cuadratica
ResponderEliminarEntendí perfecto, muy bueno. Pero me pusieron ésta y me dejó loco jaja, te lo agradecería mucho :)
ResponderEliminar3x^2+7y^2+14y+2=0
ami esta x^2 +7x -1
Eliminarimbecil aun no estan solucionados, se debe encontrar los valores que hacen cero a la ecuacion cuadratica ; que son dos por cierto!!
ResponderEliminarAcabo de entrar en esta pagina, y dejame decirte, muy buen aporte! despejaste muchas dudas incluyendo las mias. Gracias y sigue publicando mas. No nos caeria nada mal algo de Integrales por el metodo de Fracciones parciales.
ResponderEliminarexcelente estos son muy necesario en los ejereciciosde sustitucion trigonometrica
ResponderEliminarsi, en ese tema de integración es necesario saber completar cuadrados!
Eliminarmuchas gracias, puedes explicar sobre funcion afin, cuadraticas,racionale,radicales...
ResponderEliminaresta pagina esta muy buena,grax me valio de mucho, grax
ResponderEliminarGracias por tu comentario, saludos...
Eliminargenial explicación lo leí por primera ves y ya lo entendí desde ahora esta sera mi pagina favorita de consutas :D
ResponderEliminarbuena esa
ResponderEliminargracias!!
Eliminarsaludos amigo saul, tengo un problema con un cierto tipo de ecuaciones, aquellas donde existe un termino independiente la verdad no se como quedan, por ejemplo quisiera saber como quedaría esta completando cuadrado: 16x^2+9y^2+16z^2-32x-36y+36=0. me ayudarías mucho si pudieras decirme como resolverla ya que yo la hago y no me queda igual a la del libro... de antemano gracias
ResponderEliminarlo primero que debes hacer es agrupar por variables iguales.... ejemp
Eliminar(16x^2-32x)+(9y^2-36y)+16z^2+36=0.
de cada paréntesis aplica la técnica de completación de cuadrados... observa
16(x^2-2x)+9(y^2-4y)+ 16z^2+36=0
16(x^2-2x+1-1)+9(y^2-4y+4-4)+ 16z^2+36=0
16(x^2-2x+1)-1*16 + 9(y^2-4y+4)-4*9+ 16z^2+36=0
16(x-1)^2 -16 + 9(y-2)^2 - 36 + 16z^2+36=0
16(x-1)^2 + 9(y-2)^2 + 16z^2 = 16+36-36
16(x-1)^2 + 9(y-2)^2 + 16z^2 = 16
luego divide cada termino por 16
(x-1)^2 + 9/16*(y-2)^2 + z^2 = 1
el termino central de aplicas el proceso inverso a lo que ce denomina doble CC
(x-1)^2 + [(y-2)^2]/(16/9) + z^2 = 1
Muchas gracias amigo saul me sirvio de muchisimo tu explicacion ahora si lo he entendido
EliminarEstamos a la orden
Eliminarhola...me gustaría saber que grafica representa...no puedo graficarla en 3d....gracias
Eliminarmuy buena explicacion...te felicito...me re ayudo
ResponderEliminarMuy buena explicacion. Gracias m ayudo aclarar dudas.
ResponderEliminaryo tengo una duda si por ejemplo medan 4x^2+15xy+9y^2 como lo resolveria el 9y^2 nose como se haria en este caso
ResponderEliminar(2x+3x)^2 = 4x^2+12xy+9y^2
Eliminarosea tu ejercicio debes hacer suma y resta del termono 12xy
4x^2+15xy+9y^2+12xy-12xy
4x^2+12xy+9y^2+3xy
(2x+3x)^2 + 3xy
creo que eso es lo maximo que puedes hacer
Buen tema, bien explicado me aclaro las dudas que tenia de mi segundo parcial de calculo 10 :D
ResponderEliminarme alegra que te ayudara un poco....
Eliminarmuy buena explicación gracias me hayudo mucho
ResponderEliminarHola tengo una duda... m dan 2X^2-X-15
ResponderEliminarb=X como lo hago?
b no es igual a X, b es igual a 1 entonces la mitad de 1 es 1/2... Quedaría:
Eliminar2[(x^2)-(1/2)x-(15/2)]
2[(x^2)-(1/2)x+(1/4)^2-(1/4)^2+(15/2)]
2[(x^2 - 1/4)^2 + 29/4]
la respuesta correcta es;
Eliminar2[(x^2)-(1/2)x-(15/2)]
2[(x^2)-(1/2)x+(1/4)^2-(1/4)^2-(15/2)]
2[(x-1/4)^2 - 121/16]
Oye cuando se usa este método en integrales suele pasar mucho que se usan mucho "-ax", pero en varios casos veo en en vez de ordenar a+b+c el orden es indistinto y que en vez de poner el signo al principio y que multiplique a todos los términos, lo deja en medio... Un ejemplo:
ResponderEliminar-4x^2 + 12x - 5
4(-x^2 + 3x - 5/4)
4[1 - (x - 3/2)^2]
No se saca el signo negativo y se deja adentro para que después multiplique al binomio al cuadrado, tengo la teoría de que esto se hace solo en ciertos casos, pues es muy importante el orden ya que es así como después sabré que fórmula de integración necesito emplear, esto es un ejemplo del libro de granville, no sé si lo has checado pero tiene muchos complemtos al cuadrado de esta forma hehe
En matemáticas generalmente los cálculos dependen del punto de vista de la persona que los realiza, y por supuesto de su habilidad para interpretarlos y saber el momento exacto en utilizar un artificio u otro,...
Eliminar-4x^2 + 12x - 5
-4[x^2 - 3x + 5/4]
-4[x^2 - 3x +(3/2)^2 - (3/2)^2 + 5/4]
-4[(x - 3/2)^2 - 1]
aquí, en este paso anterior es donde debemos reflexionar y meditar para qué vamos a utilizar la completación de cuadrados, si es para integrar una función cuyo denominador es ese trinomio, lo recomendable es distribuir el signo menos
4[1 - (x-3/2)^2]
bien explicado, gracias.
ResponderEliminarhola saul, bebe me ayudas cn este ejercicio quiero saber si se puede aplicar esta regla a una ecuacion de 5to grado como la muestro
ResponderEliminar3t^5 + 8t^3 + 6t ??
pd: si me ayudas te daré un regalito bebito
atte camila.
De verdad que es bastante sencilla la explicación, felicitaciones
ResponderEliminargracias nestor...
Eliminarmuy buena la pagina me sirvio mucho para mi certamen de algebra estas cosas suelen olvidarse..:)
ResponderEliminarGracias! me resulto muy util!
ResponderEliminarMuy clara la explicación... Muchas gracias... Hay muchos videos en yutube que extienden demasiado la explicación y es incómodo escucharlos, y muchos menos querer entender k dicen... pero esta pagina me ayudo... (y)
ResponderEliminarHola! Es que tengo una duda con esta integral de dx/(e^2x)+4,la puedo resolver por sustitución trigonometrica o por cual método ,gracias. :)
ResponderEliminaruna tecnica sencilla es hacer un artificio..... multiplique tanto el numerador como denominador por e^(-2x) luego aplica la propiedad distributiva al denominador, despues de todo eso aplique cambio de variable al nuevo denominador, o sea
Eliminaru = 1+4e^(-2x)
Buenas noches, esta no la pude resolver! me ayudas :) ? -4x^2+6x-9
ResponderEliminarThanks a lot xD
ResponderEliminarMuchas gracias por tu explicación; sencilla pero efectiva pues no había logrado entender con exactitud antes pero ya me quedó muy claro.
ResponderEliminarGracias, sencillo y claro. bueno para recordar conceptos :)
ResponderEliminarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminarmuy bien excelente me sirvio de gran ayuda para explicar las tareas de los muchachos ..mil gracias ...
ResponderEliminarGracias hermano. Aclaraste todas mis dudas. Sigue adelante. Éxitos!
ResponderEliminarEstamos para servirle
Eliminarm
ResponderEliminarayudame completando este ejercicio porfa
ResponderEliminar4-2x-x^2
buen aporte, esta bien explicado.
EliminarGracias por la ayuda.
ayudame completando este ejercicio porfa
ResponderEliminar4-2x-x^2
Muy interesante como resuelve ecuaciones, pero conozco un sitio wed, donde resuelven los ejercicios no solo de ecuaciones, también otros ejercicios se lo recomiendo se llama profecasa.com
ResponderEliminarOh gracias amigo, gracias a tu buena explicación, complementada con los ejemplos, por fin podré dejar de sacar malas notas en los temas que involucran este tema... Gracias
ResponderEliminargracias buenisimo!!
ResponderEliminarGracias por recordarme como se hace completacion de cuadrados. exitos Hermano
ResponderEliminary cuando b es = a 1?
ResponderEliminarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminartengo un problema
ResponderEliminarUn señor ha adquirido un terreno triangular en remate, con la característica de que uno de los catetos es ¾ del otro cateto. Ha diseñado el plano de su casa con una base rectangular cuyas esquinas cortan en el punto medio de los lados del terreno que dan a las avenidas colindantes. En dicho plano, se observa que el largo de la base de la casa es el doble del ancho, más medio metro más. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno base de su casa, si además se sabe que el área resultante se ha reducido en un 50 % con respecto al terreno triangular? ¿Cuáles son las dimensiones del terreno triangular? ¿Cuánto pagó el terreno triangular si se sabe que el metro cuadrado costaba 100 dólares?
Hola, me queda claro como hacerlo pero me gustaría saber si con eso puedo calcular el valor de x o solo sirve para factorizar?
ResponderEliminarMuy buena ayuda. Gracias por tu tiempo. En verdad muy bueno tu explicacion es muy sencilla de entender, y segun veo esta correcta. Sigue adelante con tu blog, me encanta leer blogs.
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