Técnica para graficar funciones cuadráticas

Para graficar una función cuadrática, que se representa por $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, definida mediante la curva $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$, con $a\neq0$, debes conocer el vértice y los puntos de corte con el eje $x$ e $y$, otro aspecto importante es saber que la representación gráfica de una función cuadrática es una parábola que puede abrir hacia arriba o abajo dependiendo del signo del coeficiente a. Existen dos casos, si $a > 0$ entonces la parábola abre hacia arriba, si $a < 0$ entonces la parábola abre hacia abajo. Después te darás cuenta que hay funciones cuadráticas que cortan con el eje x y otras no. Cuando estas aprendiendo se hace un poco complicado pero luego de varios ejercicios verás que resulta hasta divertido.

Ante todo examina la función, es decir observa si es de la forma $ f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $, las funciones cuadráticas se te pueden presentar de la siguiente manera 

$$f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$$

$$f\left(x\right)=ax^{2}$$

$$f\left(x\right)=ax^{2}+c$$

$$f\left(x\right)=ax^{2}+bx$$

Aquí examinaremos la forma $ f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $

Empecemos

1. Calcula el punto de corte con el eje $y$, esto se logra haciendo $x=0$ en la función dada, observemos;

$$f\left(0\right)=a\left(0\right)^{2}+b\left(0\right)+c$$

$$f\left(0\right)=c$$

El punto de corte con el eje $y$ siempre será $p\left(0,c\right)$.

2. Calcula el vértice. Aplica la siguiente fórmula $$V\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$$

3. Obtener el discriminante $\Delta$. $$\Delta = b^{2}-4ac$$

Este paso es crucial, aquí se definen varios aspectos que te permitirán construir la gráfica correctamente, observemos:

3.1 Si $\Delta > 0$, entonces la gráfica tiene dos puntos de corte con el eje x, para obtener estos puntos de corte debes hacer $f\left(x\right)=0$, quedando la siguiente expresión $ax^{2}+bx+c=0$, los puntos de corte son los siguientes:

$$p_{1}\left(x_1,0\right)$$

y

$$p_{2}\left(x_2,0\right)$$

donde 

$$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

y

$$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$

 Con estos cuatro puntos --cortes con el eje $x$ e $y$ y vertice-- es suficiente para construir la gráfica de la parábola en un plano cartesiano.

3.2 Si $\Delta = 0$, entonces la gráfica tiene un solo punto de corte con el eje x, es el siguiente:

 

 $$p_{1}\left(-\frac{b}{2a},0\right)$$

 En este caso debes construir una tabla de valores, con 5 valores es suficiente, estos valores no deben ser arbitrarios, deben estar condicionados a un valor central que será el valor que corresponde a la abscisa del vértice, o sea, el valor x del vértice

 Ejemplo: Si el vértice es $V\left(\frac{3}{2},-4\right)$ usted selecciona como valor central de la tabla a $x=\frac{3}{2}$, observa como quedaría la tabla de valores

La idea es básica, debes seleccionar los enteros inmediatos a la derecha e izquierda del valor correspondiente al x del vertice. Si el vertice fuera $V\left(\frac{1}{2},-4\right)$, seleccionarías para la tabla -1, 0, 1/2, 1, 2.

De inmediato debes completar la tabla calculando los $f\left(x\right)$ correspondientes, posteriormente grafica estos valores junto al corte con el eje $y$ en un plano cartesiano y obtendrás la gráfica deseada.

3.3 Si $\Delta < 0$, entonces la gráfica no tiene puntos de corte con el eje x, en este caso se debe construir la misma tabla de valores del paso anterior y graficar los valores de esta tabla junto al corte con el eje $y$.

Próximamente estaré editando un ejemplo para que visualicen mejor la idea. Nos vemos.