domingo, 20 de febrero de 2011

Completación de cuadrados.

En esta oportunidad vamos a explicar la técnica de completación de cuadrados, técnica útil en varias áreas de las matemáticas, (resolución de ecuaciones de 2do grado, cálculo integral, transformadas de laplace, etc.).
Para comprender mejor este método, nos enfocaremos primero en las ecuaciones del tipo



Aunque esta técnica no se limita a este tipo de expresiones. Los siguientes pasos van a estar enfocados en expresiones cuadráticas de la forma x^2 + bx + c = 0, o sea, cuando el coeficiente a = 1. En los ejemplos posteriores a estos pasos se mostrará como trabajar cuando a≠1. Es sencillo, así que no te preocupes.

Pasos para realizar la completación de cuadrados.
  • Se selecciona el valor absoluto del término b, es decir, aunque este término sea negativo siempre lo tomaras positivo.
  • Divides este término por 2 y a esa expresión la elevas al cuadrado. Ejemplo (b/2)^2.
  • Suma y resta este nuevo término a la expresión dada.
  • El primer término agregado se simplifica, osea, se simplifica la fracción que está dentro del paréntesis siempre y cuando esto sea posible, el segundo término se desarrolla.
  • A los tres primeros términos se le completa cuadrado, a los dos últimos se le realizan operaciones.
  • Para completar cuadrados se procede como sigue; se le calcula la raíz cuadrada al primer término, luego coloca el signo del término b, seguido de la raíz cuadrada del tercer término, que justamente va ser la expresión simplificada dentro del paréntesis. Toda esta expresión que calculaste se eleva al cuadrado.
  • Ambas expresiones, la resultante de los tres primeros términos y la de los dos últimos será tu completación de cuadrados.

ejemplo 1, si a=1

se procede de la siguiente manera:












Ejemplo 2, si a≠1.






En este caso es necesario extraer el coeficiente del término cuadrático, aunque este no sea factor común de la expresión.












Ejemplo 3, si a≠1.








En esta última expresión debemos advertir que la fracción no se puede simplificar como en los casos anteriores, a demás, recuerde que dividir por dos es igual a multiplicar por 1/2.
Entonces (8/3)*(1/2) = 4/3







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79 comentarios:

  1. hey men muy buena explicación, me aclaraste esa pequeña duda......

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  2. gracIAS!!! eStE aRTiCUlO Nos sirVio DE muCHO

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    1. Excepto para mejorar tu ortografía.

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  3. Para servirle, si tiene dudas sobre otro tema sera de mi agrado ayudarles. exitos

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  4. espero q todos los temas sean facil d entender

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  5. gracias man te pasaste, muy bueno, me ayudaste pa mi examen , gracias

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  6. muy bueno .. gracias aclaro mis dudas .. :3

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  7. y como haria con una integral por sustitucion trigonometrica como esta integral 4x^2+24x-27?????

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    1. Gracias Roxana, yo tambien te amoooo... jejejej

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  9. gracias!!! muy bien explicado!! Dios les bendiga!!!

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  10. es una buena explicacion. muchas gracias porque aclararon mis dudas

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  11. una forma menos complicada en la que solo debes sustituir los coeficientes ax^2+bx+c=0 sería:

    si a=1 -> (x+(b/2))^2-(b^2/4)+c

    a no es 1 -> a[(x+(b/2a))^2-(b^2/4a^2)+ (c/a)]

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    1. Tienes razón, pero rara vez a los alumnos le gusta memorizar fórmulas y pocas veces se usan ese tipo de formulas para explicar la técnica de completación de cuadrados.

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  12. segui sin entender :( y se que la explicacon esta buena

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    1. No te desanimes, tienes tu ejercicio?? muestralo y trataré de explicarte

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  13. xq en la tercera expresion se divide entre 3?, y xq usas 4/3 siendo b 8/3?

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    1. porque el -3 no es factor común y debes extraerlo de manera forzada, si distribuyes el -3 dentro del paréntesis te darás cuenta que te reproduce la expresión original, ese -3 lo extraes de la expresión debido a que necesitamos el término a=1, luego el 8/3 lo divides por 2, si haces esto te queda (8/3)/2, aplicando doble C te quedaría 8/6 que simplificado es 4/3.

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  14. Esta muy buena la explicacion, podrias ayudarme con la factorizacion de trinomios cuando a> 1. como 6x2+5x -6

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    1. Hola, claro que si...

      6x^2+5x -6

      6[x^2 + (5/6)x - 1]

      6[x^2 + (5/6)x + (5/12)^2 - (5/12)^2 - 1]

      6[x^2 + (5/6)x + (5/12)^2 - 25/144 - 1]

      6[(x+5/12)^2 - 169/144]

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  15. Muy buena entrada y magnifico blog, ya estás en nuestros favoritos.

    Valora en upnews.es: Pasos para calcular la completación de cuadrados y ejemplos donde podras aprender de una manera correcta el método.

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    1. Gracias por su aceptación en su respetada y nombrada pagina web, mil gracias...

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  16. :)Me has ensenado muchisimo Saul....gracias....te admiro.

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    1. gracias a ti mi corazon, exitos y sigue adelante...

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  17. mira saul t quiero hacer una pregunta d como hacer las funciones lineales. encontrar distancia, punto medio y pendiente. de f(x)=3x-2.

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    1. hola, para encontrar la pendiente de esa función debes conocer esta ecuación general,

      Y = mx + b

      observa que es muy parecida a tu función, justamente la "m" se le llama pendiente, para tu caso la pendiente seria 3, osea, m = 3.

      la distancia entre puntos y punto medio la puedes calcular mediante formulas muy conocidas, la puedes encontrar en cualquier libro de geometría analítica u otro que hable sobre ese tema.

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  18. men muy buena explicaciòn un millon de gracias

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  19. muy bueno muy bueno. La verdad yo cometia un error, y era de dividir todo el polinomio entre el coeficiente del termino cuadratico, y al final no lo volvia a multiplicar. cosa que solo es posible cuando el polinomio está igualado a cero. Saludos.

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    1. ah... te entiendo, estabas tratando a la expresión como si fuese una ecuación, me alegra que la información te ayudara, saludos....

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  20. amigoooooo...!! el primer ejercicio... donde se eliminoo ese 4x? xq el resultado qdo (x+2)^2+1

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    1. (x+2)^2 si desarrollamos ese binomio queda...

      (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4

      lo que hicimos, por decirlo en términos no matemáticos, fue.... comprimir el trinomio, esa es la idea principal de la completación de cuadrados.

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  21. y=-3x^2 +10x-20 amigo necesito que me ayude con esa ecuacion cuadratica

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  22. Entendí perfecto, muy bueno. Pero me pusieron ésta y me dejó loco jaja, te lo agradecería mucho :)
    3x^2+7y^2+14y+2=0

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  23. imbecil aun no estan solucionados, se debe encontrar los valores que hacen cero a la ecuacion cuadratica ; que son dos por cierto!!

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  24. Acabo de entrar en esta pagina, y dejame decirte, muy buen aporte! despejaste muchas dudas incluyendo las mias. Gracias y sigue publicando mas. No nos caeria nada mal algo de Integrales por el metodo de Fracciones parciales.

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  25. excelente estos son muy necesario en los ejereciciosde sustitucion trigonometrica

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    1. si, en ese tema de integración es necesario saber completar cuadrados!

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  26. muchas gracias, puedes explicar sobre funcion afin, cuadraticas,racionale,radicales...

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  27. esta pagina esta muy buena,grax me valio de mucho, grax

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  28. genial explicación lo leí por primera ves y ya lo entendí desde ahora esta sera mi pagina favorita de consutas :D

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  29. saludos amigo saul, tengo un problema con un cierto tipo de ecuaciones, aquellas donde existe un termino independiente la verdad no se como quedan, por ejemplo quisiera saber como quedaría esta completando cuadrado: 16x^2+9y^2+16z^2-32x-36y+36=0. me ayudarías mucho si pudieras decirme como resolverla ya que yo la hago y no me queda igual a la del libro... de antemano gracias

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    1. lo primero que debes hacer es agrupar por variables iguales.... ejemp

      (16x^2-32x)+(9y^2-36y)+16z^2+36=0.

      de cada paréntesis aplica la técnica de completación de cuadrados... observa

      16(x^2-2x)+9(y^2-4y)+ 16z^2+36=0

      16(x^2-2x+1-1)+9(y^2-4y+4-4)+ 16z^2+36=0

      16(x^2-2x+1)-1*16 + 9(y^2-4y+4)-4*9+ 16z^2+36=0


      16(x-1)^2 -16 + 9(y-2)^2 - 36 + 16z^2+36=0

      16(x-1)^2 + 9(y-2)^2 + 16z^2 = 16+36-36

      16(x-1)^2 + 9(y-2)^2 + 16z^2 = 16

      luego divide cada termino por 16


      (x-1)^2 + 9/16*(y-2)^2 + z^2 = 1

      el termino central de aplicas el proceso inverso a lo que ce denomina doble CC

      (x-1)^2 + [(y-2)^2]/(16/9) + z^2 = 1

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    2. Muchas gracias amigo saul me sirvio de muchisimo tu explicacion ahora si lo he entendido

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    3. hola...me gustaría saber que grafica representa...no puedo graficarla en 3d....gracias

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  30. muy buena explicacion...te felicito...me re ayudo

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  31. Muy buena explicacion. Gracias m ayudo aclarar dudas.

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  32. yo tengo una duda si por ejemplo medan 4x^2+15xy+9y^2 como lo resolveria el 9y^2 nose como se haria en este caso

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    1. (2x+3x)^2 = 4x^2+12xy+9y^2

      osea tu ejercicio debes hacer suma y resta del termono 12xy

      4x^2+15xy+9y^2+12xy-12xy

      4x^2+12xy+9y^2+3xy

      (2x+3x)^2 + 3xy

      creo que eso es lo maximo que puedes hacer

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  33. Buen tema, bien explicado me aclaro las dudas que tenia de mi segundo parcial de calculo 10 :D

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  34. muy buena explicación gracias me hayudo mucho

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  35. Hola tengo una duda... m dan 2X^2-X-15
    b=X como lo hago?

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    1. b no es igual a X, b es igual a 1 entonces la mitad de 1 es 1/2... Quedaría:
      2[(x^2)-(1/2)x-(15/2)]
      2[(x^2)-(1/2)x+(1/4)^2-(1/4)^2+(15/2)]
      2[(x^2 - 1/4)^2 + 29/4]

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    2. la respuesta correcta es;

      2[(x^2)-(1/2)x-(15/2)]
      2[(x^2)-(1/2)x+(1/4)^2-(1/4)^2-(15/2)]
      2[(x-1/4)^2 - 121/16]

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  36. Oye cuando se usa este método en integrales suele pasar mucho que se usan mucho "-ax", pero en varios casos veo en en vez de ordenar a+b+c el orden es indistinto y que en vez de poner el signo al principio y que multiplique a todos los términos, lo deja en medio... Un ejemplo:
    -4x^2 + 12x - 5
    4(-x^2 + 3x - 5/4)
    4[1 - (x - 3/2)^2]
    No se saca el signo negativo y se deja adentro para que después multiplique al binomio al cuadrado, tengo la teoría de que esto se hace solo en ciertos casos, pues es muy importante el orden ya que es así como después sabré que fórmula de integración necesito emplear, esto es un ejemplo del libro de granville, no sé si lo has checado pero tiene muchos complemtos al cuadrado de esta forma hehe

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    1. En matemáticas generalmente los cálculos dependen del punto de vista de la persona que los realiza, y por supuesto de su habilidad para interpretarlos y saber el momento exacto en utilizar un artificio u otro,...

      -4x^2 + 12x - 5
      -4[x^2 - 3x + 5/4]
      -4[x^2 - 3x +(3/2)^2 - (3/2)^2 + 5/4]
      -4[(x - 3/2)^2 - 1]

      aquí, en este paso anterior es donde debemos reflexionar y meditar para qué vamos a utilizar la completación de cuadrados, si es para integrar una función cuyo denominador es ese trinomio, lo recomendable es distribuir el signo menos

      4[1 - (x-3/2)^2]

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  37. bien explicado, gracias.

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  38. hola saul, bebe me ayudas cn este ejercicio quiero saber si se puede aplicar esta regla a una ecuacion de 5to grado como la muestro
    3t^5 + 8t^3 + 6t ??

    pd: si me ayudas te daré un regalito bebito
    atte camila.

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  39. De verdad que es bastante sencilla la explicación, felicitaciones

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  40. muy buena la pagina me sirvio mucho para mi certamen de algebra estas cosas suelen olvidarse..:)

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  41. Muy clara la explicación... Muchas gracias... Hay muchos videos en yutube que extienden demasiado la explicación y es incómodo escucharlos, y muchos menos querer entender k dicen... pero esta pagina me ayudo... (y)

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  42. Hola! Es que tengo una duda con esta integral de dx/(e^2x)+4,la puedo resolver por sustitución trigonometrica o por cual método ,gracias. :)

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    1. una tecnica sencilla es hacer un artificio..... multiplique tanto el numerador como denominador por e^(-2x) luego aplica la propiedad distributiva al denominador, despues de todo eso aplique cambio de variable al nuevo denominador, o sea
      u = 1+4e^(-2x)

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  43. Buenas noches, esta no la pude resolver! me ayudas :) ? -4x^2+6x-9

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  44. Muchas gracias por tu explicación; sencilla pero efectiva pues no había logrado entender con exactitud antes pero ya me quedó muy claro.

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  45. Gracias, sencillo y claro. bueno para recordar conceptos :)

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