Conjuntos Compactos en $\mathbb{R}$

Se dice que un conjunto de $F$ de $\mathbb{R}$ es Compacto si toda cubierta abierta de $F$ tiene una subcubierta finita.

Examinando la definición de conjuntos compacto surgen dos inquietudes:

¿Qué es una cubierta abierta?

¿Qué es una subcubierta finita?

Una vez aclarado estas definiciones podemos retomar el camino de conjuntos compacto, estableciendo lo siguiente; Un conjunto $F$ es compacto si, siempre que esté contenido en la unión de una colección $\varphi = \left \{ G_{\alpha } \right \}$de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$, entonces está contenido en la unión de algún numero finito de conjuntos en $\varphi$.

Dos cosas hay que advertir, si usted desea demostrar que un conjunto es compacto, se debe examinar una colección cualesquiera de conjuntos abiertos cuya unión contenga a $F$, y probar que $F$ está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos de la colección dada.

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Cubierta Abierta y subcubierta finita en $\mathbb{R}$

Sea $A$ un conjunto de $\mathbb{R}$. Una cubierta abierta de $A$ es una colección $\varphi = \left \{ G_{\alpha } \right \}$ de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ cuya unión contiene a $A$; es decir,

$$A \subseteq \bigcup_{\alpha }^{^{}}G_{\alpha }$$

Si $ {\varphi }'$ es una subcolección de conjuntos de $\varphi$ tal que la unión de los conjuntos de $ {\varphi }'$ también contiene a $A$, entonces a $ {\varphi }'$ se le llama subcubierta de $\varphi$. Si $ {\varphi }'$ consta de un número finito de conjuntos, entonces a $ {\varphi }'$ se le llama subcubierta finita de $\varphi$.

EJEMPLO

Puede haber varias cubiertas abierta diferentes para un conjunto dado. Por ejemplo, si $A= \left [1,\infty   \right )$, entonces las siguientes colecciones de conjuntos son todas cubiertas abiertas de $A$:

$\varphi _{0}= \left \{ \left ( 0,\infty  \right ) \right \}\\

\varphi _{1}= \left \{ \left ( r-1,r+1  \right ):r\epsilon Q,r> 0 \right \}\\

\varphi _{2}= \left \{ \left ( n-1,n+1  \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\

\varphi _{3}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\

\varphi _{4}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N},n\geq 11 \right \}$

se observa que  $\varphi _{2}$ es una subcubierta de $\varphi _{1}$, y que $\varphi _{4}$ es una subcubierta de $\varphi _{3}$.

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Espacio Métrico Completo

Definición.
Se dice que un espacio metrico $\left(S,d\right)$ es completo si toda sucesión de Cauchy en $S$ converge a un punto de $S$.

Ejemplo. El espacio métrico $\left(\mathbb{Q},d\right)$ de los números racionales con el métrico definido por la función del valor absoluto NO es completo.

Solución: Si $\left(X_{n}\right)$ es una sucesión de números racionales que converge a un número irracional, digamos a $\sqrt{2}$, entonces es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{Q}$, pero no converge a un punto de $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $\left(\mathbb{Q},d\right)$ NO es un espacio métrico completo.

Invitamos al lector a construir una sucesión de números racionales que sea convergente a un número no racional.

¿Que es la topologia?

La topología es una versión de la geometría, Euler decía q ademas de la geometría que trabajaba sobre cantidades habia otra que no se veia afectada por las cantidades y por ello cuando se manipulaba con la geometría normal no admitía solución, aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando son plegadas, dilatadas, contraidas o deformadas, el estudio de estas propiedades no tenia sentido en la geometría anterior del siglo XVIII, por lo que plantearon una nueva versión, la topología. Formalmente diríamos que la topología es la rama de las matemáticas dedicadas al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas, con la topología la geometría no se fija en las cantidades si no en las cualidades, asi la topología considera los mismos objetos que el geometra pero de un modo distinto, no se fija en las distancias o los ángulos y no ve diferencia entre círculo y elipse, una bola o un cubo, Henrry Poincare el gran creador de esta rama, escribiría a principios del siglo XX, las proporciones de las figuras pueden ser alteradas pero sus elementos no pueden ser trastocados y deben conservar su posicion relativa, en otras palabras las propiedades cuantitativas no son importantes si no que se deben respetar las propiedades cualitativas, es decir, aquellas de las que se ocupa el analisis en situ, como Poincare denominaba a la topología que provenia de la geometría de la  posición que utilizaba Euler.