Ecuaciones Trigonométricas

Son aquellas en las cuales la incógnita aparece como ángulo de funciones trigonométricas.

No existe método general para resolver una ecuación trigonométrica. Generalmente se transforma toda la ecuación de manera que quede expresada en una sola función trigonométrica y entonces se resuelve como una ecuación algebraica cualquiera. La única diferencia es que la incógnita es una función trigonomética, en vez de ser X, Y o Z.

Como a veces hay que elevar al cuadrado o multiplicar por un factor, se introducen soluciones extrañas. Por ésto, hay que comprobar las obtenidas en la ecuación dada. Por ejemplo, si estamos resolviendo una ecuación, cuya incógnita sea sen(a) y obtenemos para ella los valores -1 y 2, tenemos que despreciar el valor 2, porque el seno de un ángulo no puede valer más de 1.

Resulta la ecuación algebraicamente, queda por resolver la parte trigonométrica; es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo determinar cuál es ese ángulo. Recordemos que las funciones trigononetricas repiten sus valores en los cuadrantes, siendo positivas en dos de ellos y negativas en los otros dos, es decir, que hay dos ángulos para los cuales una función trigonométrica tiene el mismo valor y signo.

Además, como las funciones trigonométricas de ángulos que se diferencian en un número exacto de vueltas, son iguales, será necesario añadir a las soluciones obtenidas, un múltiplo cualquiera de 360°, es decir, n*360°.

Propiedades básicas de las funciones trigonométricas

Propiedades básicas de la función sen(x)

1. La función seno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [-1, 1]

sen(x) : R→[-1; 1].

2. La función seno es impar, es decir sen(-x) = -sen(x).

3. La función seno tiene un periodo 2π, es decir sen(x) = sen(x + k2π), k∈Z.

4. La función seno esta acotada por 1, es decir |sen(x)|≤1.

5. La función seno tiene máximos (el 1) en x =π/2+ 2πk, k∈Z.

6. La función seno tiene mínimos (el -1) en x =3π/2+ 2πk, k∈Z.

Propiedades básicas de la función cos(x)

1. La función coseno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [1,1].

cos(x) : R→ [-1,1].

2. La función coseno es par, es decir cos(-x) = cos(x).

3. La función coseno tiene un periodo 2π, es decir cos(x) = cos(x + k2π), k∈Z.

4. La función coseno esta acotada por 1, es decir |cos(x)|≤1.

5. La función coseno tiene máximos (el 1) en x = 2πk, k∈Z.

6. La función coseno tiene mínimos (el -1) en x = πk, k∈Z.

Propiedades básicas de la función tan(x)

1. La función tangente no está definida en los puntos x = π/ 2+kπ con k∈Z.

2. La función tangente tiene dominio R - { x / x = π/ 2 +kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales R.

tan(x) R - { x / x = π/ 2 +kπ} → R.

3. La función tangente es impar, es decir tan(-x) = -tan(x).

4. La función tangente tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x + kπ), k∈Z.

5. La función tangente no está acotada.

6. La función tangente no tiene máximos.

7. La función tangente no tiene mínimos.

Propiedades básicas de la función cot(x)

1. La función cotangente no está definida en los puntos x = kπ con k∈Z.

2. La función cotangente tiene dominio R – { x/ x = kπ} y rango a los reales R

tan(x) : R – { x/ x = kπ} → R.

3. La función cotangente es impar, es decir cot(-x) = -cot(x).

4. La función cotangente tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x + kπ), k∈Z.

5. La función cotangente no está acotada.

6. La función cotangente no tiene máximos.

7. La función cotangente no tiene mínimos.

Propiedades básicas de la función sec(x)

1. La función secante no está definida en los puntos x = π/2+πk con k∈Z.

2. La función secante tiene dominio R – { x / x = π/2+πk} y rango (imagen del dominio) a los reales R - (-1,1)

tan(x) : R – {x/ x = π/2+ πk} → R - (-1,1).

3. La función secante es par, es decir sec(-x) = sec(x).

4. La función secante tiene un periodo 2π, es decir tan(x) = tan(x + 2kπ), k∈Z.

5. La función secante no está acotada.

6. La función secante alcanza el máximo local -1 en (2k + 1)π.

7. La función secante se alcanza el mínimo local 1 en 2kπ.

Propiedades básicas de la función csc(x)

1. La función cosecante no está definida en los puntos x = kπ con k∈Z.

2. La función cosecante tiene dominio R – { x/ x = kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales

R - (-1,1).

csc(x) : R – { x/ x = kπ} → R - (-1,1).

3. La función cosecante es impar, es decir csc(-x) = -csc(x).

4. La función cosecante tiene un periodo 2π, es decir csc(x) = csc(x + 2kπ), k∈Z.

5. La función cosecante no está acotada.

6. La función cosecante tiene máximos locales -1, en π(3 + 4k)/2, k∈Z.

7. La función cosecante tiene mínimos locales 1, en π(1 + 4k)/2, k∈Z.

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