lunes, 13 de noviembre de 2017

Técnica para graficar funciones cuadráticas

Para graficar una función cuadrática, que se representa por $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, definida mediante la curva $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$, con $a\neq0$, debes conocer el vértice y los puntos de corte con el eje $x$ e $y$, otro aspecto importante es saber que la representación gráfica de una función cuadrática es una parábola que puede abrir hacia arriba o abajo dependiendo del signo del coeficiente a. Existen dos casos, si $a > 0$ entonces la parábola abre hacia arriba, si $a < 0$ entonces la parábola abre hacia abajo. Después te darás cuenta que hay funciones cuadráticas que cortan con el eje x y otras no. Cuando estas aprendiendo se hace un poco complicado pero luego de varios ejercicios verás que resulta hasta divertido.

Ante todo examina la función, es decir observa si es de la forma $ f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $, las funciones cuadráticas se te pueden presentar de la siguiente manera 


$$f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$$


$$f\left(x\right)=ax^{2}$$


$$f\left(x\right)=ax^{2}+c$$


$$f\left(x\right)=ax^{2}+bx$$


Aquí examinaremos la forma $ f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c $

Empecemos

1. Calcula el punto de corte con el eje $y$, esto se logra haciendo $x=0$ en la función dada, observemos;

$$f\left(0\right)=a\left(0\right)^{2}+b\left(0\right)+c$$

$$f\left(0\right)=c$$

El punto de corte con el eje $y$ siempre será $p\left(0,c\right)$.

2. Calcula el vértice. Aplica la siguiente fórmula $$V\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$$

3. Obtener el discriminante $\Delta$. $$\Delta = b^{2}-4ac$$

Este paso es crucial, aquí se definen varios aspectos que te permitirán construir la gráfica correctamente, observemos:

3.1 Si $\Delta > 0$, entonces la gráfica tiene dos puntos de corte con el eje x, para obtener estos puntos de corte debes hacer $f\left(x\right)=0$, quedando la siguiente expresión $ax^{2}+bx+c=0$, los puntos de corte son los siguientes:

$$p_{1}\left(x_1,0\right)$$
y
$$p_{2}\left(x_2,0\right)$$
donde 
$$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
y
$$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$


 Con estos cuatro puntos --cortes con el eje $x$ e $y$ y vertice-- es suficiente para construir la gráfica de la parábola en un plano cartesiano.

3.2 Si $\Delta = 0$, entonces la gráfica tiene un solo punto de corte con el eje x, es el siguiente:
 
 $$p_{1}\left(-\frac{b}{2a},0\right)$$

 En este caso debes construir una tabla de valores, con 5 valores es suficiente, estos valores no deben ser arbitrarios, deben estar condicionados a un valor central que será el valor que corresponde a la abscisa del vértice, o sea, el valor x del vértice

 Ejemplo: Si el vértice es $V\left(\frac{3}{2},-4\right)$ usted selecciona como valor central de la tabla a $x=\frac{3}{2}$, observa como quedaría la tabla de valores


La idea es básica, debes seleccionar los enteros inmediatos a la derecha e izquierda del valor correspondiente al x del vertice. Si el vertice fuera $V\left(\frac{1}{2},-4\right)$, seleccionarías para la tabla -1, 0, 1/2, 1, 2.

De inmediato debes completar la tabla calculando los $f\left(x\right)$ correspondientes, posteriormente grafica estos valores junto al corte con el eje $y$ en un plano cartesiano y obtendrás la gráfica deseada.


3.3 Si $\Delta < 0$, entonces la gráfica no tiene puntos de corte con el eje x, en este caso se debe construir la misma tabla de valores del paso anterior y graficar los valores de esta tabla junto al corte con el eje $y$.

Próximamente estaré editando un ejemplo para que visualicen mejor la idea. Nos vemos.

viernes, 10 de noviembre de 2017

Factor cuadrático irreducible

Es importante conocer cuando una expresión cuadrática es un factor irreducible, esto nos permite saber si esta expresión es factorizable o no. Por ejemplo,

$s^{2}-2s+5$ ¿Será factorizable? La respuesta es no. Veremos de inmediato, obtenemos el discriminante delta

$$\triangle=b^{2}-4ac$$

A partir del valor de este discriminante, o sea, si  $\Delta > 0$, $\Delta < 0$ o $\Delta = 0$, podemos identificar si el factor es irreducible, en este caso es necesario que $\Delta$ sea negativo, es decir, $\Delta < 0$. Examinemos nuestro ejemplo:

$$s^{2}-2s+5$$

para este caso $a=1$, $b=-2$ y $c=5$, calculando el discriminante

$$\Delta=\left(-2\right)^{2}-4*1*5$$
$$\Delta=-16$$
$$\Delta < 0$$

Esto indica que el factor cuadrático es irreducible por lo tanto aseguramos que la expresión no es factorizable en términos elementales, para estos casos podemos aplicar la técnica de completación de cuadrados para realizar cualquier otro cálculo.




viernes, 20 de octubre de 2017

Fracciones parciales aplicada a la transformada inversa de Laplace

El método de fracciones parciales es bien conocido, sin embargo, cuando se aplica a la transformada de Laplace y estamos en presencia de factores cuadráticos irreducibles cambia un poco, observemos:

Supongamos que queremos calcular la siguiente expresión

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2s^{2}+10s}{\left(s^{2}-2s+5\right)\left(s+1\right)}\right\}
 $$

Como la expresión  $\left(s^{2}-2s+5\right)$ es un factor cuadrático irreducible, entonces el método clásico de descomposición en fracciones parciales quedaría

$$\frac{2s^{2}+10s}{\left(s^{2}-2s+5\right)\left(s+1\right)}=\frac{As+B}{s^{2}-2s+5}+\frac{C}{s+1}
 $$

Ahora trataremos de calcular la inversa

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2s^{2}+10s}{\left(s^{2}-2s+5\right)\left(s+1\right)}\right\} =\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{As+B}{s^{2}-2s+5}+\frac{C}{s+1}\right\}
 $$

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{As}{s^{2}-2s+5}+\frac{B}{s^{2}-2s+5}+\frac{C}{s+1}\right\}
 $

$=A\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{s^{2}-2s+5}\right\} +B\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s^{2}-2s+5}\right\} +C\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s+1}\right\}
 $

La primera y segunda transformada son un poco complicadas de desarrollar, se requiere de algunos artificios matemáticos, por esta razón  no considero que el método clásico de fracción parcial sea conveniente, en cambio, utilizaremos el siguiente:

Este método consiste en la utilización de la completación de cuadrados para nuestro caso el factor $\left(s^{2}-2s+5\right)$ queda $\left(s-1\right)^{2}+4$, ahora

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2s^{2}+10s}{\left[\left(s-1\right)^{2}+4\right]\left(s+1\right)}\right\} =\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{A\left(s-1\right)+2B}{\left(s-1\right)^{2}+4}+\frac{C}{s+1}\right\}
 $$
Observación: el término que acompaña a $A$  y a $B$ es la raiz cuadrada de cada uno de los elementos del denominador.

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{A\left(s-1\right)}{\left(s-1\right)^{2}+4}+\frac{2B}{\left(s-1\right)^{2}+4}+\frac{C}{s+1}\right\}
 $

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{A\left(s-1\right)}{\left(s-1\right)^{2}+4}\right\} +\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2B}{\left(s-1\right)^{2}+4}\right\} +\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{C}{s+1}\right\}
 $

$=A\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{\left(s-1\right)}{\left(s-1\right)^{2}+4}\right\} +B\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2}{\left(s-1\right)^{2}+4}\right\} +C\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s+1}\right\}
 $

Ahora, estas transformadas son conocidas y pueden calcularse

$=Ae^{t}cos\left(2t\right)+Be^{t}sen\left(2t\right)+Ce^{-t}
 $.