Espacio Métrico Completo

Definición.
Se dice que un espacio metrico $\left(S,d\right)$ es completo si toda sucesión de Cauchy en $S$ converge a un punto de $S$.

Ejemplo. El espacio métrico $\left(\mathbb{Q},d\right)$ de los números racionales con el métrico definido por la función del valor absoluto NO es completo.

Solución: Si $\left(X_{n}\right)$ es una sucesión de números racionales que converge a un número irracional, digamos a $\sqrt{2}$, entonces es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{Q}$, pero no converge a un punto de $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $\left(\mathbb{Q},d\right)$ NO es un espacio métrico completo.

Invitamos al lector a construir una sucesión de números racionales que sea convergente a un número no racional.