Fracciones parciales aplicada a la transformada inversa de Laplace

El método de fracciones parciales es bien conocido, sin embargo, cuando se aplica a la transformada de Laplace y estamos en presencia de factores cuadráticos irreducibles cambia un poco, observemos:

Supongamos que queremos calcular la siguiente expresión

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2s^{2}+10s}{\left(s^{2}-2s+5\right)\left(s+1\right)}\right\}$$

Como la expresión  $\left(s^{2}-2s+5\right)$ es un factor cuadrático irreducible, entonces el método clásico de descomposición en fracciones parciales quedaría

$$\frac{2s^{2}+10s}{\left(s^{2}-2s+5\right)\left(s+1\right)}=\frac{As+B}{s^{2}-2s+5}+\frac{C}{s+1}$$

Ahora trataremos de calcular la inversa

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2s^{2}+10s}{\left(s^{2}-2s+5\right)\left(s+1\right)}\right\} =\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{As+B}{s^{2}-2s+5}+\frac{C}{s+1}\right\}$$

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{As}{s^{2}-2s+5}+\frac{B}{s^{2}-2s+5}+\frac{C}{s+1}\right\}$

$=A\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{s^{2}-2s+5}\right\} +B\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s^{2}-2s+5}\right\} +C\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s+1}\right\}$

La primera y segunda transformada son un poco complicadas de desarrollar, se requiere de algunos artificios matemáticos, por esta razón  no considero que el método clásico de fracción parcial sea conveniente, en cambio, utilizaremos el siguiente:

Este método consiste en la utilización de la completación de cuadrados para nuestro caso el factor $\left(s^{2}-2s+5\right)$ queda $\left(s-1\right)^{2}+4$, ahora

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2s^{2}+10s}{\left[\left(s-1\right)^{2}+4\right]\left(s+1\right)}\right\} =\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{A\left(s-1\right)+2B}{\left(s-1\right)^{2}+4}+\frac{C}{s+1}\right\}$$
Observación: el término que acompaña a $A$  y a $B$ es la raiz cuadrada de cada uno de los elementos del denominador.

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{A\left(s-1\right)}{\left(s-1\right)^{2}+4}+\frac{2B}{\left(s-1\right)^{2}+4}+\frac{C}{s+1}\right\}$

$=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{A\left(s-1\right)}{\left(s-1\right)^{2}+4}\right\} +\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2B}{\left(s-1\right)^{2}+4}\right\} +\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{C}{s+1}\right\}$

$=A\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{\left(s-1\right)}{\left(s-1\right)^{2}+4}\right\} +B\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2}{\left(s-1\right)^{2}+4}\right\} +C\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s+1}\right\}$

Ahora, estas transformadas son conocidas y pueden calcularse

$=Ae^{t}cos\left(2t\right)+Be^{t}sen\left(2t\right)+Ce^{-t}$.