Rectas y planos

La distancia de un plano al origen es 3. Si el plano pasa también por la intersección de los planos x+y+z-11 = 0 ^ x-4y+5z-10 = 0. Hállese su ecuación.

Resolución:

Sea los planos:

$plano 1$: x+y+z-11 = 0

$plano 2$: x-4y+5z-10 = 0

El plano buscado pasa por la intersección de los planos mostrados en la imagen.

Dos planos no paralelos se intersectan y forman una recta.

La distancia no dirigida que va desde el plano Ax+By+Cz+D = 0, hasta el punto (x₀,y₀,z₀) está dada por:






La distancia de un plano al origen es 3, el origen es el punto p$0,0,0$: sustituyendo en la formula:














Elevando ambos miembros al cuadrado queda:


ecuación 1.


Ahora buscamos la recta de interseccion de los planos:






Multiplicando por 4 la primera ecuación queda:





Sumando ambas ecuaciones:

5x +9z -54 = 0















Ahora eliminamos la variable z del sistema de ecuaciones






Para ello multiplicamos por -5 la primera ecuación, queda:





Sumando ambas ecuaciones:

-4x-9y+45 = 0











Igualando los valores de x obtenemos la recta simétrica de la intersección de los planos.







De esta última expresión obtenemos el vector director y un punto de la recta:








p$0,5,6$

El plano buscado $Ax+By+Cz+D=0$ cuyo vector normal es , pasa por la intersección de los planos dados, estos planos se intersectan en la recta obtenida anteriormente. Concluimos:

• La recta está contenida en el plano que deseamos obtener.
• Por estar contenida en el plano, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.
• Todo punto de la recta satisface a la ecuación del plano.

El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. El producto punto de dos vectores perpendiculares es igual a cero.








9A-4B-5C = 0, ecuación 2.


Todo punto de la recta satisface a la ecuación del plano

Un punto de la recta es p$0,5,6$ y la ecuación del plano está representada por Ax+By+Cz+D=0, entonces;

A$0$+B$5$+C$6$+D=0

5B+6C+D=0, ecuación 3.

Ahora se forma el siguiente sistema de ecuaciones








9A-4B-5C = 0 $2$
5B+6C = -D $3$


Si multiplicamos la ecuación $2$ por 5, queda:

45A-20B-25C = 0
20B+24C = -4D
______________
45A - C = -4D

C = 45A+4D, ecuación 4.


9A-4B-5C = 0 $2$
5B+6C = -D $3$

Ahora multiplicamos la ecuación $2$ por 6 y la ecuación $3$ por 5, queda:

54A-24B-30C = 0
25B+30C = -5D
______________
54A+B = -5D

B = -54A-5D, ecuación 5.

Sustituyendo la ecuación $4$ y $5$ en la ecuación $1$, se tiene:

9A² +9(2916A²+540DA+25D²)+9(2025A²+360DA+16D²) = D²

9A²+26244A²+4860DA+225D²+18225A²+3240DA+144D² = D²

44478A²+8100DA+368D² = 0

22239A²+4050DA+184D² = 0

Aquí se obtienen dos soluciones, trabajando con la solución que resultará de tomar el signo positivo:









De las ecuaciones $4$ y $5$ se obtiene:








Sustituyendo estos resultados en la ecuación del plano, Ax+By+Cz+D=0.













Multiplicando por $-1059$ esta última ecuación, obtenemos la primera solución del plano buscado.


Trabajando con la solución que resultará de tomar el signo negativo:








Análogamente,







Obtenemos la segunda solución del plano buscado.


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