Tipos de Variables

Según su naturaleza, las variables pueden ser cuantitativas y cualitativas:

Cuantitativas: son aquellas que se expresan en valores o datos numéricos.

Ejemplos: Cantidad de habitantes en una región, notas o calificaciones estudiantiles, número de personas que pertenecen a un partido político, tiempo empleado en un trabajo.

Así mismo,las variables cuantitativas se clasifican en discretas y continuas.

Discretas: son las que asumen valores o cifras enteras.

Ejemplos: cantidad de estudiantes en una aula de clases -pueden ser 39,40 ó 41, pero nunca 40,7 estudiantes-; otro ejemplo es la cantidad de libros que pueden ser consultados, ya que nunca podrá revisar 25,3 libros, pero si podrá consultar 25 ó 26.

Continuas: son aquellas que adoptan números fraccionados o decimales. Ejemplos: la temperatura ambiental puede alcanzar 32,4 °C. Un objeto puede medir 58,6 cm de alto.

Cualitativas : también llamadas categóricas, son características o atributos que se expresan de forma verbal -no numérica-, es decir, mediante palabras. Éstas pueden ser:

Dicotómicas: se presentan en sólo dos clases o categorías. Ejemplos: género: masculino o femenino; tipos de escuelas: públicas o privadas; procedencia de un producto: nacional o importado; tipos de vehículos: automático o sincrónico.

Policotómicas: se manifiestan en más de dos categorías. Ejemplos: marcas de computadoras, colores de tintas, tipos de empresas, clases sociales.

fuente: Fidias Arias. El proyecto de Investigación. 6ta ed. Editorial Episteme.

Conjuntos Compactos en $\mathbb{R}$

Se dice que un conjunto de $F$ de $\mathbb{R}$ es Compacto si toda cubierta abierta de $F$ tiene una subcubierta finita.

Examinando la definición de conjuntos compacto surgen dos inquietudes:

¿Qué es una cubierta abierta?

¿Qué es una subcubierta finita?

Una vez aclarado estas definiciones podemos retomar el camino de conjuntos compacto, estableciendo lo siguiente; Un conjunto $F$ es compacto si, siempre que esté contenido en la unión de una colección $\varphi = \left \{ G_{\alpha } \right \}$de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$, entonces está contenido en la unión de algún numero finito de conjuntos en $\varphi$.

Dos cosas hay que advertir, si usted desea demostrar que un conjunto es compacto, se debe examinar una colección cualesquiera de conjuntos abiertos cuya unión contenga a $F$, y probar que $F$ está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos de la colección dada.

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Cubierta Abierta y subcubierta finita en $\mathbb{R}$

Sea $A$ un conjunto de $\mathbb{R}$. Una cubierta abierta de $A$ es una colección $\varphi = \left \{ G_{\alpha } \right \}$ de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ cuya unión contiene a $A$; es decir,

$$A \subseteq \bigcup_{\alpha }^{^{}}G_{\alpha }$$

Si $ {\varphi }'$ es una subcolección de conjuntos de $\varphi$ tal que la unión de los conjuntos de $ {\varphi }'$ también contiene a $A$, entonces a $ {\varphi }'$ se le llama subcubierta de $\varphi$. Si $ {\varphi }'$ consta de un número finito de conjuntos, entonces a $ {\varphi }'$ se le llama subcubierta finita de $\varphi$.

EJEMPLO

Puede haber varias cubiertas abierta diferentes para un conjunto dado. Por ejemplo, si $A= \left [1,\infty   \right )$, entonces las siguientes colecciones de conjuntos son todas cubiertas abiertas de $A$:

$\varphi _{0}= \left \{ \left ( 0,\infty  \right ) \right \}\\

\varphi _{1}= \left \{ \left ( r-1,r+1  \right ):r\epsilon Q,r> 0 \right \}\\

\varphi _{2}= \left \{ \left ( n-1,n+1  \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\

\varphi _{3}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\

\varphi _{4}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N},n\geq 11 \right \}$

se observa que  $\varphi _{2}$ es una subcubierta de $\varphi _{1}$, y que $\varphi _{4}$ es una subcubierta de $\varphi _{3}$.

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Espacio Métrico Completo

Definición.
Se dice que un espacio metrico $\left(S,d\right)$ es completo si toda sucesión de Cauchy en $S$ converge a un punto de $S$.

Ejemplo. El espacio métrico $\left(\mathbb{Q},d\right)$ de los números racionales con el métrico definido por la función del valor absoluto NO es completo.

Solución: Si $\left(X_{n}\right)$ es una sucesión de números racionales que converge a un número irracional, digamos a $\sqrt{2}$, entonces es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{Q}$, pero no converge a un punto de $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $\left(\mathbb{Q},d\right)$ NO es un espacio métrico completo.

Invitamos al lector a construir una sucesión de números racionales que sea convergente a un número no racional.

Ecuaciones Trigonométricas

Son aquellas en las cuales la incógnita aparece como ángulo de funciones trigonométricas.

No existe método general para resolver una ecuación trigonométrica. Generalmente se transforma toda la ecuación de manera que quede expresada en una sola función trigonométrica y entonces se resuelve como una ecuación algebraica cualquiera. La única diferencia es que la incógnita es una función trigonomética, en vez de ser X, Y o Z.

Como a veces hay que elevar al cuadrado o multiplicar por un factor, se introducen soluciones extrañas. Por ésto, hay que comprobar las obtenidas en la ecuación dada. Por ejemplo, si estamos resolviendo una ecuación, cuya incógnita sea sen(a) y obtenemos para ella los valores -1 y 2, tenemos que despreciar el valor 2, porque el seno de un ángulo no puede valer más de 1.

Resulta la ecuación algebraicamente, queda por resolver la parte trigonométrica; es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo determinar cuál es ese ángulo. Recordemos que las funciones trigononetricas repiten sus valores en los cuadrantes, siendo positivas en dos de ellos y negativas en los otros dos, es decir, que hay dos ángulos para los cuales una función trigonométrica tiene el mismo valor y signo.

Además, como las funciones trigonométricas de ángulos que se diferencian en un número exacto de vueltas, son iguales, será necesario añadir a las soluciones obtenidas, un múltiplo cualquiera de 360°, es decir, n*360°.

¿Que es la topologia?

La topología es una versión de la geometría, Euler decía q ademas de la geometría que trabajaba sobre cantidades habia otra que no se veia afectada por las cantidades y por ello cuando se manipulaba con la geometría normal no admitía solución, aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando son plegadas, dilatadas, contraidas o deformadas, el estudio de estas propiedades no tenia sentido en la geometría anterior del siglo XVIII, por lo que plantearon una nueva versión, la topología. Formalmente diríamos que la topología es la rama de las matemáticas dedicadas al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas, con la topología la geometría no se fija en las cantidades si no en las cualidades, asi la topología considera los mismos objetos que el geometra pero de un modo distinto, no se fija en las distancias o los ángulos y no ve diferencia entre círculo y elipse, una bola o un cubo, Henrry Poincare el gran creador de esta rama, escribiría a principios del siglo XX, las proporciones de las figuras pueden ser alteradas pero sus elementos no pueden ser trastocados y deben conservar su posicion relativa, en otras palabras las propiedades cuantitativas no son importantes si no que se deben respetar las propiedades cualitativas, es decir, aquellas de las que se ocupa el analisis en situ, como Poincare denominaba a la topología que provenia de la geometría de la  posición que utilizaba Euler.