Sea $A$ un conjunto de $\mathbb{R}$. Una cubierta abierta de
$A$ es una colección $\varphi = \left \{ G_{\alpha } \right \}$ de conjuntos
abiertos en $\mathbb{R}$ cuya unión contiene a $A$; es decir,
$$A \subseteq \bigcup_{\alpha }^{^{}}G_{\alpha }$$
Si $ {\varphi }'$ es una subcolección de conjuntos de $\varphi$
tal que la unión de los conjuntos de $ {\varphi }'$ también contiene a $A$,
entonces a $ {\varphi }'$ se le llama subcubierta de $\varphi$. Si $ {\varphi
}'$ consta de un número finito de conjuntos, entonces a $ {\varphi }'$ se le
llama subcubierta finita de $\varphi$.
EJEMPLO
Puede haber varias cubiertas abierta diferentes para un
conjunto dado. Por ejemplo, si $A= \left [1,\infty \right )$, entonces las siguientes colecciones de conjuntos son
todas cubiertas abiertas de $A$:
$\varphi _{0}= \left \{ \left ( 0,\infty \right ) \right \}\\
\varphi _{1}= \left \{ \left ( r-1,r+1 \right ):r\epsilon Q,r> 0 \right \}\\
\varphi _{2}= \left \{ \left ( n-1,n+1 \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\
\varphi _{3}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\
\varphi _{4}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N},n\geq 11 \right \}$
\varphi _{1}= \left \{ \left ( r-1,r+1 \right ):r\epsilon Q,r> 0 \right \}\\
\varphi _{2}= \left \{ \left ( n-1,n+1 \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\
\varphi _{3}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\
\varphi _{4}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N},n\geq 11 \right \}$
se observa que $\varphi _{2}$ es una subcubierta de $\varphi _{1}$, y que $\varphi _{4}$ es una subcubierta de $\varphi _{3}$.
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