Conjuntos Compactos en $\mathbb{R}$

Se dice que un conjunto de $F$ de $\mathbb{R}$ es Compacto si toda cubierta abierta de $F$ tiene una subcubierta finita.

Examinando la definición de conjuntos compacto surgen dos inquietudes:

¿Qué es una cubierta abierta?

¿Qué es una subcubierta finita?

Una vez aclarado estas definiciones podemos retomar el camino de conjuntos compacto, estableciendo lo siguiente; Un conjunto $F$ es compacto si, siempre que esté contenido en la unión de una colección $\varphi = \left \{ G_{\alpha } \right \}$de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$, entonces está contenido en la unión de algún numero finito de conjuntos en $\varphi$.

Dos cosas hay que advertir, si usted desea demostrar que un conjunto es compacto, se debe examinar una colección cualesquiera de conjuntos abiertos cuya unión contenga a $F$, y probar que $F$ está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos de la colección dada.

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Cubierta Abierta y subcubierta finita en $\mathbb{R}$

Sea $A$ un conjunto de $\mathbb{R}$. Una cubierta abierta de $A$ es una colección $\varphi = \left \{ G_{\alpha } \right \}$ de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}$ cuya unión contiene a $A$; es decir,

$$A \subseteq \bigcup_{\alpha }^{^{}}G_{\alpha }$$

Si $ {\varphi }'$ es una subcolección de conjuntos de $\varphi$ tal que la unión de los conjuntos de $ {\varphi }'$ también contiene a $A$, entonces a $ {\varphi }'$ se le llama subcubierta de $\varphi$. Si $ {\varphi }'$ consta de un número finito de conjuntos, entonces a $ {\varphi }'$ se le llama subcubierta finita de $\varphi$.

EJEMPLO

Puede haber varias cubiertas abierta diferentes para un conjunto dado. Por ejemplo, si $A= \left [1,\infty   \right )$, entonces las siguientes colecciones de conjuntos son todas cubiertas abiertas de $A$:

$\varphi _{0}= \left \{ \left ( 0,\infty  \right ) \right \}\\

\varphi _{1}= \left \{ \left ( r-1,r+1  \right ):r\epsilon Q,r> 0 \right \}\\

\varphi _{2}= \left \{ \left ( n-1,n+1  \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\

\varphi _{3}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N} \right \}\\

\varphi _{4}= \left \{ \left ( 0,n \right ):n\epsilon \mathbb{N},n\geq 11 \right \}$

se observa que  $\varphi _{2}$ es una subcubierta de $\varphi _{1}$, y que $\varphi _{4}$ es una subcubierta de $\varphi _{3}$.

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