sábado, 26 de febrero de 2011

Rectas y planos

La distancia de un plano al origen es 3. Si el plano pasa también por la intersección de los planos x+y+z-11 = 0 ^ x-4y+5z-10 = 0. Hállese su ecuación.

Resolución:

Sea los planos:

(plano 1): x+y+z-11 = 0

(plano 2): x-4y+5z-10 = 0




El plano buscado pasa por la intersección de los planos mostrados en la imagen.

Dos planos no paralelos se intersectan y forman una recta.

La distancia no dirigida que va desde el plano Ax+By+Cz+D = 0, hasta el punto (x0,y0,z0) está dada por:






La distancia de un plano al origen es 3, el origen es el punto p(0,0,0): sustituyendo en la formula:














Elevando ambos miembros al cuadrado queda:


ecuación 1.


Ahora buscamos la recta de interseccion de los planos:






Multiplicando por 4 la primera ecuación queda:





Sumando ambas ecuaciones:

5x +9z -54 = 0















Ahora eliminamos la variable z del sistema de ecuaciones






Para ello multiplicamos por -5 la primera ecuación, queda:





Sumando ambas ecuaciones:

-4x-9y+45 = 0











Igualando los valores de x obtenemos la recta simétrica de la intersección de los planos.







De esta última expresión obtenemos el vector director y un punto de la recta:








p(0,5,6)

El plano buscado (Ax+By+Cz+D=0) cuyo vector normal es , pasa por la intersección de los planos dados, estos planos se intersectan en la recta obtenida anteriormente. Concluimos:

  • La recta está contenida en el plano que deseamos obtener.
  • Por estar contenida en el plano, el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.
  • Todo punto de la recta satisface a la ecuación del plano.

El vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. El producto punto de dos vectores perpendiculares es igual a cero.








9A-4B-5C = 0,
ecuación 2.


Todo punto de la recta satisface a la ecuación del plano

Un punto de la recta es p(0,5,6) y la ecuación del plano está representada por Ax+By+Cz+D=0, entonces;

A(0)+B(5)+C(6)+D=0

5B+6C+D=0,
ecuación 3.

Ahora se forma el siguiente sistema de ecuaciones








9A-4B-5C = 0
(2)
5B+6C = -D (3)


Si multiplicamos la ecuación
(2) por 5, queda:

45A-20B-25C = 0
20B+24C = -4D
______________
45A - C = -4D

C = 45A+4D,
ecuación 4.


9A-4B-5C = 0 (2)
5B+6C = -D (3)

Ahora multiplicamos la ecuación (2) por 6 y la ecuación (3) por 5, queda:

54A-24B-30C = 0
25B+30C = -5D
______________
54A+B = -5D

B = -54A-5D, ecuación 5.

Sustituyendo la ecuación
(4) y (5) en la ecuación (1), se tiene:











9A2 +9(2916A2+540DA+25D2)+9(2025A2+360DA+16D2) = D2

9A2+26244A2+4860DA+225D2+18225A2+3240DA+144D2 = D2

44478A2+8100DA+368D2 = 0

22239A2+4050DA+184D2 = 0










Aquí se obtienen dos soluciones, trabajando con la solución que resultará de tomar el signo positivo:









De las ecuaciones
(4) y (5) se obtiene:








Sustituyendo estos resultados en la ecuación del plano,
Ax+By+Cz+D=0.













Multiplicando por (-1059) esta última ecuación, obtenemos la primera solución del plano buscado.


Trabajando con la solución que resultará de tomar el signo negativo:








Análogamente,







Obtenemos la segunda solución del plano buscado.


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